Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 922

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\arccos(\cos^2x)

Ответ:Область определения функции —

\mathbb R

. При

x\notin\pi\mathbb Z

y'=\frac{2\cos x\,\operatorname{sgn}(\sin x)} {\sqrt{1+\cos^2x}}

В точках

x=k\pi

k\in\mathbb Z

, производная не существует.

Решение

Идея

Здесь и далее под производной понимаем обычную двустороннюю
производную. Односторонние производные в концах области определения
указываем отдельно.

Функция определена при всех действительных

x

, поскольку

0\leqslant\cos^2x\leqslant1

. Для

\sin x\ne0

применяем правило дифференцирования сложной функции:

y'=-\frac{(\cos^2x)'}{\sqrt{1-\cos^4x}} =\frac{2\sin x\cos x}{\sqrt{1-\cos^4x}}

Разложим выражение под корнем:

1-\cos^4x=(1-\cos^2x)(1+\cos^2x) =\sin^2x(1+\cos^2x)

Поэтому

\sqrt{1-\cos^4x}=|\sin x|\sqrt{1+\cos^2x}

и при

x\notin\pi\mathbb Z

y'=\frac{2\cos x\,\operatorname{sgn}(\sin x)} {\sqrt{1+\cos^2x}}

В частности, в точках

x=\frac\pi2+k\pi

эта формула даёт

y'=0

Проверка

Отдельно проверим точки

x=k\pi

. Формула производной сложной функции
в этих точках неприменима, поскольку её знаменатель обращается в нуль.
Сначала рассмотрим окрестность точки

x=0

. Положим

q=\arccos(\cos^2h)

Тогда

q\in\left[0,\frac\pi2\right]

, и из

\cos q=\cos^2h

получаем

2\sin^2\frac q2=1-\cos q=\sin^2h

Следовательно,

q=2\arcsin\frac{|\sin h|}{\sqrt2}

Используя предел

\lim_{z\to0}\frac{\arcsin z}{z}=1

, находим

\lim_{h\to0^+}\frac qh=\sqrt2 \qquad \lim_{h\to0^-}\frac qh=-\sqrt2

Функция

f(x)=\arccos(\cos^2x)

имеет период

\pi

, поэтому её
поведение в окрестности каждой точки

x=k\pi

совпадает с поведением
в окрестности нуля. Следовательно, при

x=k\pi

производная не
существует.