Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 931

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 931

y=ln⁡(1+sin⁡2x)−2sin⁡x arctg⁡(sin⁡x)y=\ln(1+\sin^2x)-2\sin x\,\operatorname{arctg}(\sin x)
Ответ:y′=−2cos⁡x arctg⁡(sin⁡x),x∈Ry'=-2\cos x\,\operatorname{arctg}(\sin x),
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Поскольку 1+sin⁡2x>01+\sin^2x>0, функция определена при всех
x∈Rx\in\mathbb R. Производная первого слагаемого равна
(ln⁡(1+sin⁡2x))′=2sin⁡xcos⁡x1+sin⁡2x\left(\ln(1+\sin^2x)\right)'
=\frac{2\sin x\cos x}{1+\sin^2x}Для второго слагаемого применяем правило произведения:(−2sin⁡x arctg⁡(sin⁡x))′=−2cos⁡x arctg⁡(sin⁡x)−2sin⁡xcos⁡x1+sin⁡2x\left(-2\sin x\,\operatorname{arctg}(\sin x)\right)'
=-2\cos x\,\operatorname{arctg}(\sin x)
-\frac{2\sin x\cos x}{1+\sin^2x}Дробные слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётсяy′=−2cos⁡x arctg⁡(sin⁡x)y'=-2\cos x\,\operatorname{arctg}(\sin x)
Демидович № 931 — решение и ответ