Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 943

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 943

y=ln⁡1−x31+x3+x23+3 arctg⁡1+2x33y=\ln\frac{1-\sqrt[3]{x}}
{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}}
+\sqrt3\,\operatorname{arctg}\frac{1+2\sqrt[3]{x}}{\sqrt3}
Ответ:y′=−1x3(1−x)x∈(−∞,0)∪(0,1)y'=-\frac1{\sqrt[3]{x}(1-x)}
\qquad x\in(-\infty,0)\cup(0,1)При x=0x=0 функция определена, но не дифференцируема.

Решение

Идея

Положимt=x3t=\sqrt[3]{x}Тогда x23=t2\sqrt[3]{x^2}=t^2, причёмt2+t+1=(t+12)2+34>0t^2+t+1=\left(t+\frac12\right)^2+\frac34>0Поскольку t2+t+1>0t^2+t+1>0, для существования логарифма достаточно
потребовать1−t>01-t>0ПоэтомуD=(−∞,1)D=(-\infty,1)После замены переменной функция принимает видF(t)=ln⁡(1−t)−12ln⁡(t2+t+1)+3 arctg⁡1+2t3F(t)=\ln(1-t)-\frac12\ln(t^2+t+1)
+\sqrt3\,\operatorname{arctg}\frac{1+2t}{\sqrt3}Дифференцируя по tt, получаемF′(t)=−11−t−2t+12(t2+t+1)+32(t2+t+1)==−3t(1−t)(t2+t+1)=−3t1−t3\begin{aligned}
F'(t)&=-\frac1{1-t}
-\frac{2t+1}{2(t^2+t+1)}
+\frac3{2(t^2+t+1)}=\\
&=-\frac{3t}{(1-t)(t^2+t+1)}
=-\frac{3t}{1-t^3}
\end{aligned}При t≠0t\ne0 имеемdxdt=3t2\frac{dx}{dt}=3t^2Следовательно,y′=F′(t)3t2=−1t(1−t3)=−1x3(1−x)y'=\frac{F'(t)}{3t^2}
=-\frac1{t(1-t^3)}
=-\frac1{\sqrt[3]{x}(1-x)}В точке x=0x=0 делить на 3t23t^2 нельзя, поэтому проверим её
отдельно.
По определению производной рассматривается разностное отношение.
Здесь x=t3x=t^3 и y(x)=F(t)y(x)=F(t), поэтомуy(x)−y(0)x=F(t)−F(0)t3\frac{y(x)-y(0)}x
=\frac{F(t)-F(0)}{t^3}Найдём его односторонние пределы. По правилу Лопиталяlim⁡t→0±F(t)−F(0)t3=lim⁡t→0±F′(t)3t2==lim⁡t→0±−1t(1−t3)\begin{aligned}
\lim_{t\to0^\pm}\frac{F(t)-F(0)}{t^3}
&=\lim_{t\to0^\pm}\frac{F'(t)}{3t^2}=\\
&=\lim_{t\to0^\pm}-\frac1{t(1-t^3)}
\end{aligned}Правый предел равен −∞-\infty, а левый равен +∞+\infty. Поэтому
конечной производной при x=0x=0 нет.
Демидович № 943 — решение и ответ