Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 952

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\operatorname{arctg}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

Ответ:

y'=\frac1{2(1+x^2)}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Обозначим

Проверка

s=\sqrt{1+x^2} \qquad u=x+s

Так как

s>|x|

, то

u=x+s>0

. В частности,

u\ne0

, поэтому
дальнейшее сокращение на

u

допустимо.
Тогда

u'=1+\frac xs=\frac us

Кроме того,

1+u^2=1+(x+s)^2=2s(x+s)=2su

Следовательно,

y'=\frac{u'}{1+u^2} =\frac us\cdot\frac1{2su} =\frac1{2(1+x^2)}