Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 960

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 960

Найти производные функций:

\text{а) }y=\operatorname{arctg} e^x-\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}

\text{б) }y=\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+x^4}}}

\text{в) }y=\operatorname{arcctg}\frac{1}{\sqrt{\operatorname{ctg}\dfrac{1}{x^2}}}

\text{г) }y=\ln^2\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)

Ответ:

y'=\frac{e^x-1}{1+e^{2x}},\qquad x\in\mathbb R

y'=\frac{x^3}{6(1+x^4)^{\frac34}\left(1+\sqrt[4]{1+x^4}\right)^{\frac23}\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+x^4}}}},\qquad x\in\mathbb R

При

x\ne0

\operatorname{ctg}\dfrac1{x^2}>0

y'=\frac{1}{x^3\sin^2\!\left(\dfrac1{x^2}\right)\sqrt{\operatorname{ctg}\dfrac1{x^2}}\left(1+\operatorname{ctg}\dfrac1{x^2}\right)}

На множестве

\cos(2\sqrt[3]{x})>0

y'=\begin{cases}\dfrac{4\ln\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)\operatorname{tg}\left(2\sqrt[3]{x}\right)}{3x^{\frac23}}, & x\ne0\\[3mm]0, & x=0\end{cases}

Решение

1
Пункт а)
Область определения функции совпадает с $\mathbb R$ ,
поскольку $\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}>0$ Следовательно, квадратный корень положителен, а значит, аргумент
логарифма положителен при любом $x\in\mathbb R$ . Сначала упростим
логарифмическое слагаемое: $\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}=x-\frac12\ln\left(e^{2x}+1\right)$ Поэтому $\begin{aligned}y'=\frac{e^x}{1+e^{2x}}&-1+\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}=\\&=\frac{e^x-1}{1+e^{2x}}\end{aligned}$
2
Пункт б)
Введём последовательные промежуточные функции $u=(1+x^4)^{\frac14},\qquadv=(1+u)^{\frac13},\qquady=(1+v)^{\frac12}$ Все подкоренные выражения положительны при любом действительном $x$ .
По правилу дифференцирования сложной функции $u'=x^3(1+x^4)^{-\frac34}$ $v'=\frac13(1+u)^{-\frac23}u'$ $y'=\frac{v'}{2\sqrt{1+v}}$ После подстановки $u$ и $v$ получаем $y'=\frac{x^3}{6(1+x^4)^{\frac34}\left(1+\sqrt[4]{1+x^4}\right)^{\frac23}\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+x^4}}}}$
3
Пункт в)
Положим $u=\frac1{x^2},\qquadq=\operatorname{ctg}u,\qquadw=q^{-\frac12}$ Для действительных значений исходной функции необходимо и достаточно $x\ne0,\qquad\operatorname{ctg}\frac1{x^2}>0$ На этой области $q'=\frac{2}{x^3\sin^2u}$ и $w'=-\frac{1}{x^3\sin^2u\,q^{\frac32}}$ При соглашении
$\operatorname{arcctg}\colon\mathbb R\to(0,\pi)$ имеем $y'=-\frac{w'}{1+w^2}$ Следовательно, $y'=\frac{1}{x^3\sin^2u\,\sqrt q\,(1+q)}$
4
Пункт г)
Здесь $\ln^2 z$ означает $[\ln z]^2$ . Для
вещественного логарифма требуется $\cos\left(2\sqrt[3]{x}\right)>0$ При $x\ne0$ из правила цепочки следует $y'=2\ln\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)\operatorname{tg}\left(2\sqrt[3]{x}\right)\frac{2}{3x^{\frac23}}$ то есть $y'=\frac{4\ln\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)\operatorname{tg}\left(2\sqrt[3]{x}\right)}{3x^{\frac23}}$ Точка $x=0$ принадлежит области определения, однако полученная формула
в ней неприменима. Используем эквивалентность
$\ln(\sec z)\sim\dfrac{z^2}{2}$ при $z\to0$ . Тогда $\ln^2\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{h}\right)\right)\sim4|h|^{\frac43}$ и потому $y'(0)=\lim_{h\to0}\frac{\ln^2\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{h}\right)\right)}{h}=0$