Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 960

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 960

Найти производные функций:а) y=arctg⁡ex−ln⁡e2xe2x+1\text{а) }y=\operatorname{arctg} e^x-
\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}б) y=1+1+1+x443\text{б) }y=\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+x^4}}}в) y=arcctg⁡1ctg⁡1x2\text{в) }y=\operatorname{arcctg}
\frac{1}{\sqrt{\operatorname{ctg}\dfrac{1}{x^2}}}г) y=ln⁡2 ⁣(sec⁡(2x3))\text{г) }y=\ln^2\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)
Ответ:а) y′=ex−11+e2x,x∈Ry'=\frac{e^x-1}{1+e^{2x}},
\qquad x\in\mathbb Rб) y′=x36(1+x4)34(1+1+x44)231+1+1+x443,x∈Ry'=\frac{x^3}
{6(1+x^4)^{\frac34}
\left(1+\sqrt[4]{1+x^4}\right)^{\frac23}
\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+x^4}}}},
\qquad x\in\mathbb Rв) При
x≠0x\ne0 и ctg⁡1x2>0\operatorname{ctg}\dfrac1{x^2}>0y′=1x3sin⁡2 ⁣(1x2)ctg⁡1x2(1+ctg⁡1x2)y'=\frac{1}
{x^3\sin^2\!\left(\dfrac1{x^2}\right)
\sqrt{\operatorname{ctg}\dfrac1{x^2}}
\left(1+\operatorname{ctg}\dfrac1{x^2}\right)}г) На множестве
cos⁡(2x3)>0\cos(2\sqrt[3]{x})>0y′={4ln⁡ ⁣(sec⁡(2x3))tg⁡(2x3)3x23,x≠00,x=0y'=\begin{cases}
\dfrac{4\ln\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)
\operatorname{tg}\left(2\sqrt[3]{x}\right)}
{3x^{\frac23}}, & x\ne0\\[3mm]
0, & x=0
\end{cases}

Решение

Пункт а)

Область определения функции совпадает с R\mathbb R,
посколькуe2xe2x+1>0\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}>0Следовательно, квадратный корень положителен, а значит, аргумент
логарифма положителен при любом x∈Rx\in\mathbb R. Сначала упростим
логарифмическое слагаемое:ln⁡e2xe2x+1=x−12ln⁡(e2x+1)\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}
=x-\frac12\ln\left(e^{2x}+1\right)Поэтомуy′=ex1+e2x−1+e2x1+e2x==ex−11+e2x\begin{aligned}
y'
=\frac{e^x}{1+e^{2x}}&-1+
\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}=\\
&=\frac{e^x-1}{1+e^{2x}}
\end{aligned}

Пункт б)

Введём последовательные промежуточные функцииu=(1+x4)14,v=(1+u)13,y=(1+v)12u=(1+x^4)^{\frac14},
\qquad
v=(1+u)^{\frac13},
\qquad
y=(1+v)^{\frac12}Все подкоренные выражения положительны при любом действительном xx.
По правилу дифференцирования сложной функцииu′=x3(1+x4)−34u'=x^3(1+x^4)^{-\frac34}v′=13(1+u)−23u′v'=\frac13(1+u)^{-\frac23}u'y′=v′21+vy'=\frac{v'}{2\sqrt{1+v}}После подстановки uu и vv получаемy′=x36(1+x4)34(1+1+x44)231+1+1+x443y'=\frac{x^3}
{6(1+x^4)^{\frac34}
\left(1+\sqrt[4]{1+x^4}\right)^{\frac23}
\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+x^4}}}}

Пункт в)

Положимu=1x2,q=ctg⁡u,w=q−12u=\frac1{x^2},
\qquad
q=\operatorname{ctg}u,
\qquad
w=q^{-\frac12}Для действительных значений исходной функции необходимо и достаточноx≠0,ctg⁡1x2>0x\ne0,
\qquad
\operatorname{ctg}\frac1{x^2}>0На этой областиq′=2x3sin⁡2uq'=\frac{2}{x^3\sin^2u}иw′=−1x3sin⁡2u q32w'=-\frac{1}{x^3\sin^2u\,q^{\frac32}}При соглашении
arcctg⁡ ⁣:R→(0,π)\operatorname{arcctg}\colon\mathbb R\to(0,\pi) имеемy′=−w′1+w2y'=-\frac{w'}{1+w^2}Следовательно,y′=1x3sin⁡2u q (1+q)y'=\frac{1}
{x^3\sin^2u\,\sqrt q\,(1+q)}

Пункт г)

Здесь ln⁡2z\ln^2 z означает [ln⁡z]2[\ln z]^2. Для
вещественного логарифма требуетсяcos⁡(2x3)>0\cos\left(2\sqrt[3]{x}\right)>0При x≠0x\ne0 из правила цепочки следуетy′=2ln⁡ ⁣(sec⁡(2x3))tg⁡(2x3)23x23y'=2\ln\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)
\operatorname{tg}\left(2\sqrt[3]{x}\right)
\frac{2}{3x^{\frac23}}то естьy′=4ln⁡ ⁣(sec⁡(2x3))tg⁡(2x3)3x23y'=\frac{4\ln\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{x}\right)\right)
\operatorname{tg}\left(2\sqrt[3]{x}\right)}
{3x^{\frac23}}Точка x=0x=0 принадлежит области определения, однако полученная формула
в ней неприменима. Используем эквивалентность
ln⁡(sec⁡z)∼z22\ln(\sec z)\sim\dfrac{z^2}{2} при z→0z\to0. Тогдаln⁡2 ⁣(sec⁡(2h3))∼4∣h∣43\ln^2\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{h}\right)\right)
\sim4|h|^{\frac43}и потомуy′(0)=lim⁡h→0ln⁡2 ⁣(sec⁡(2h3))h=0y'(0)=\lim_{h\to0}
\frac{\ln^2\!\left(\sec\left(2\sqrt[3]{h}\right)\right)}{h}=0
Демидович № 960 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика