Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 950

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=x\operatorname{arctg} x-\frac12\ln(1+x^2)-\frac12(\operatorname{arctg} x)^2

Ответ:

y'=\frac{x^2\operatorname{arctg} x}{1+x^2}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Область определения функции имеет вид

D=\mathbb R

Используем правила дифференцирования произведения и сложной функции:

\begin{aligned} y'&=\operatorname{arctg} x+\frac{x}{1+x^2} -\frac{x}{1+x^2} -\frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^2}=\\ &=\operatorname{arctg} x\left(1-\frac1{1+x^2}\right) =\frac{x^2\operatorname{arctg} x}{1+x^2}\end{aligned}