Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 938

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 938

y=arccos⁡xx+12ln⁡1−1−x21+1−x2y=\frac{\arccos x}{x}
+\frac12\ln
\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}
Ответ:y′=−arccos⁡xx2,−1<x<0или0<x<1y'=-\frac{\arccos x}{x^2},
\qquad
-1<x<0\quad\text{или}\quad0<x<1Односторонние производные: y+′(−1)=−πy'_+(-1)=-\pi, y−′(1)=0y'_-(1)=0.

Решение

Идея

Условие существования корня и арккосинуса даёт ∣x∣⩽1|x|\leqslant1.
При x=0x=0 первое слагаемое не определено, а числитель дроби под
логарифмом равен нулю. При x≠0x\ne0 эта дробь положительна. Поэтому

Проверка

Dy=[−1,0)∪(0,1]D_y=[-1,0)\cup(0,1]Введём обозначенияA=arccos⁡xr=1−x2A=\arccos x
\qquad
r=\sqrt{1-x^2}Для внутренних точек области определения(Ax)′=−1xr−Ax2\left(\frac Ax\right)'
=-\frac1{xr}-\frac A{x^2}Производная логарифмической части равна12(ln⁡(1−r)−ln⁡(1+r))′=−r′2(11−r+11+r)==−r′1−r2\begin{aligned}
\frac12\left(\ln(1-r)-\ln(1+r)\right)'
&=-\frac{r'}2
\left(\frac1{1-r}+\frac1{1+r}\right)=\\
&=-\frac{r'}{1-r^2}
\end{aligned}Так как r′=−xrr'=-\frac xr и 1−r2=x21-r^2=x^2, получаем−r′1−r2=1xr-\frac{r'}{1-r^2}=\frac1{xr}В сумме члены 1xr\frac1{xr} и −1xr-\frac1{xr} сокращаются.
Следовательно,y′=−arccos⁡xx2y'=-\frac{\arccos x}{x^2}Формула справедлива при −1<x<0-1<x<0 и 0<x<10<x<1. При x=0x=0 сама
функция не определена. Функция непрерывна на каждом из отрезков
[−1,c][-1,c], где −1<c<0-1<c<0, и [c,1][c,1], где 0<c<10<c<1. Так какlim⁡x→−1+y′=−πlim⁡x→1−y′=0\lim_{x\to-1+}y'=-\pi
\qquad
\lim_{x\to1-}y'=0по теореме Лагранжа соответствующие односторонние производные равны
−π-\pi и 00.
Демидович № 938 — решение и ответ