Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 938

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 938

y=arccos⁡xx+12ln⁡1−1−x21+1−x2y=\frac{\arccos x}{x}
+\frac12\ln
\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}
Ответ:y′=−arccos⁡xx2,−1<x<0или0<x<1y'=-\frac{\arccos x}{x^2},
\qquad
-1<x<0\quad\text{или}\quad0<x<1Односторонние производные: y+′(−1)=−πy'_+(-1)=-\pi, y−′(1)=0y'_-(1)=0.

Решение

Условие существования корня и арккосинуса даёт ∣x∣⩽1|x|\leqslant1.
При x=0x=0 первое слагаемое не определено, а числитель дроби под
логарифмом равен нулю. При x≠0x\ne0 эта дробь положительна. Поэтому
Dy=[−1,0)∪(0,1]D_y=[-1,0)\cup(0,1]Введём обозначенияA=arccos⁡xr=1−x2A=\arccos x
\qquad
r=\sqrt{1-x^2}Для внутренних точек области определения(Ax)′=−1xr−Ax2\left(\frac Ax\right)'
=-\frac1{xr}-\frac A{x^2}Производная логарифмической части равна12(ln⁡(1−r)−ln⁡(1+r))′=−r′2(11−r+11+r)==−r′1−r2\begin{aligned}
\frac12\left(\ln(1-r)-\ln(1+r)\right)'
&=-\frac{r'}2
\left(\frac1{1-r}+\frac1{1+r}\right)=\\
&=-\frac{r'}{1-r^2}
\end{aligned}Так как r′=−xrr'=-\frac xr и 1−r2=x21-r^2=x^2, получаем−r′1−r2=1xr-\frac{r'}{1-r^2}=\frac1{xr}В сумме члены 1xr\frac1{xr} и −1xr-\frac1{xr} сокращаются.
Следовательно,y′=−arccos⁡xx2y'=-\frac{\arccos x}{x^2}Теперь проверим концы области определения. При x=cos⁡t→1−x=\cos t\to1-, t→0+t\to0+, положимY(t)=tcos⁡t+12ln⁡1−sin⁡t1+sin⁡t.Y(t)=\frac{t}{\cos t}+\frac12\ln\frac{1-\sin t}{1+\sin t}.Это значение исходной функции в точке cos⁡t\cos t, причём y(1)=0y(1)=0.
Из доказанной в №894 формулы для логарифма получаем при z→0z\to0ln⁡(1−z)=−z−z22+o(z2),ln⁡(1+z)=z−z22+o(z2),12ln⁡1−z1+z=−z+o(z2).\begin{aligned}
\ln(1-z)&=-z-\frac{z^2}{2}+o(z^2),\\
\ln(1+z)&= z-\frac{z^2}{2}+o(z^2),\\
\frac12\ln\frac{1-z}{1+z}&=-z+o(z^2).
\end{aligned}Подставляя z=sin⁡tz=\sin t, где sin⁡t/t→1\sin t/t\to1, находимY(t)=tcos⁡t−sin⁡t+o(t2)=t−sin⁡tcos⁡tcos⁡t+o(t2).Y(t)=\frac{t}{\cos t}-\sin t+o(t^2)
=\frac{t-\sin t\cos t}{\cos t}+o(t^2).По оценке из №934 числитель первой дроби не превосходит (t+sin⁡t)(1−cos⁡t)(t+\sin t)(1-\cos t). Поэтому эта дробь, делённая на t2t^2, стремится к нулю. Итак, Y(t)/t2→0Y(t)/t^2\to0 иy−′(1)=lim⁡t→0+Y(t)cos⁡t−1=0−1/2=0.y'_-(1)=\lim_{t\to0+}\frac{Y(t)}{\cos t-1}
=\frac{0}{-1/2}=0.При x=−cos⁡t→−1+x=-\cos t\to-1+ имеем arccos⁡x=π−t\arccos x=\pi-t, y(−1)=−πy(-1)=-\pi иy(−cos⁡t)=Y(t)−πcos⁡t.y(-\cos t)=Y(t)-\frac{\pi}{\cos t}.Следовательно,y(−cos⁡t)−y(−1)1−cos⁡t=Y(t)1−cos⁡t−πcos⁡t⟶0−π=−π.\frac{y(-\cos t)-y(-1)}{1-\cos t}
=\frac{Y(t)}{1-\cos t}-\frac{\pi}{\cos t}
\longrightarrow0-\pi=-\pi.В точке 00 сама функция не определена.