Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 951

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\ln\left(e^x+\sqrt{1+e^{2x}}\right)

Ответ:

y'=\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Выражение под знаком логарифма положительно при всех

x

, поэтому

D=\mathbb R

Положим

s=\sqrt{1+e^{2x}}

. Тогда

s'=\frac{e^{2x}}s

\begin{aligned} y'&=\frac{e^x+\frac{e^{2x}}s}{e^x+s} =\frac{e^x(s+e^x)}{s(e^x+s)}=\\ &=\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\end{aligned}