Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 929

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac1{\arccos^2(x^2)}

Ответ:

y'=\frac{4x} {\sqrt{1-x^4}\,\arccos^3(x^2)}, \qquad -1<x<1

Решение

Идея

Для существования арккосинуса необходимо

|x|\leqslant1

. При

x=\pm1

имеем

\arccos(x^2)=0

, а это выражение находится в
знаменателе. Поэтому

Проверка

D_y=(-1,1)

Положим

A(x)=\arccos(x^2)

. Тогда

A'(x)=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}

и по правилу дифференцирования степени

y'=-2A^{-3}(x)A'(x)

Следовательно,

y'=\frac{4x} {\sqrt{1-x^4}\,\arccos^3(x^2)}

Формула справедлива на всей области определения, включая

x=0

,
где она даёт

y'(0)=0