Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 405

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры.

Задача 405

а) lim⁡x→af(x)=∞;б) lim⁡x→af(x)=−∞;в) lim⁡x→af(x)=+∞;г) lim⁡x→a−0f(x)=∞;д) lim⁡x→a−0f(x)=−∞;е) lim⁡x→a−0f(x)=+∞;ж) lim⁡x→a+0f(x)=∞;з) lim⁡x→a+0f(x)=−∞;и) lim⁡x→a+0f(x)=+∞.\begin{array}{ll}
\text{а) }\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty; &
\text{б) }\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty;\\[1mm]
\text{в) }\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty; &
\text{г) }\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty;\\[1mm]
\text{д) }\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty; &
\text{е) }\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=+\infty;\\[1mm]
\text{ж) }\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty; &
\text{з) }\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty;\\[1mm]
\text{и) }\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=+\infty.
\end{array}

Решение

Здесь запись f(x)→∞f(x)\to\infty означает, что модуль ∣f(x)∣|f(x)| становится сколь угодно большим. Все кванторы по xx ниже относятся к области определения функции. Предполагается, что из этой области можно приближаться к указанной точке с нужной стороны или уходить в указанную бесконечность.

Пункт а)

Равенство lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)∣>E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
0<|x-a|<\delta
\Longrightarrow
|f(x)|>E. При достаточно близких к aa, но отличных от aa значениях xx модуль функции становится больше любого заранее заданного числа EE.

Пример: f(x)=1x−a.f(x)=\frac1{x-a}.

Пункт б)

Равенство lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x\to a}f(x)=-\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:0<∣x−a∣<δ⟹f(x)<−E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
0<|x-a|<\delta
\Longrightarrow
f(x)<-E. При x→ax\to a функция становится отрицательной и сколь угодно большой по модулю.

Пример: f(x)=−1(x−a)2.f(x)=-\frac1{(x-a)^2}.

Пункт в)

Равенство lim⁡x→af(x)=+∞\lim_{x\to a}f(x)=+\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:0<∣x−a∣<δ⟹f(x)>E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
0<|x-a|<\delta
\Longrightarrow
f(x)>E. При x→ax\to a функция становится больше любого заранее заданного положительного числа.

Пример: f(x)=1(x−a)2.f(x)=\frac1{(x-a)^2}.

Пункт г)

Равенство lim⁡x→a−0f(x)=∞\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:a−δ<x<a⟹∣f(x)∣>E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a-\delta<x<a
\Longrightarrow
|f(x)|>E. При приближении xx к aa слева модуль функции становится сколь угодно большим.

Пример: f(x)=1x−a.f(x)=\frac1{x-a}.

Пункт д)

Равенство lim⁡x→a−0f(x)=−∞\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:a−δ<x<a⟹f(x)<−E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a-\delta<x<a
\Longrightarrow
f(x)<-E. При приближении xx к aa слева функция становится меньше любого отрицательного числа −E-E.

Пример: f(x)=1x−a.f(x)=\frac1{x-a}.

Пункт е)

Равенство lim⁡x→a−0f(x)=+∞\lim_{x\to a-0}f(x)=+\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:a−δ<x<a⟹f(x)>E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a-\delta<x<a
\Longrightarrow
f(x)>E. При приближении xx к aa слева функция становится больше любого положительного числа EE.

Пример: f(x)=−1x−a.f(x)=-\frac1{x-a}.

Пункт ж)

Равенство lim⁡x→a+0f(x)=∞\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:a<x<a+δ⟹∣f(x)∣>E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a<x<a+\delta
\Longrightarrow
|f(x)|>E. При приближении xx к aa справа модуль функции становится сколь угодно большим.

Пример: f(x)=1x−a.f(x)=\frac1{x-a}.

Пункт з)

Равенство lim⁡x→a+0f(x)=−∞\lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:a<x<a+δ⟹f(x)<−E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a<x<a+\delta
\Longrightarrow
f(x)<-E. При приближении xx к aa справа функция становится меньше любого отрицательного числа −E-E.

Пример: f(x)=−1x−a.f(x)=-\frac1{x-a}.

Пункт и)

Равенство lim⁡x→a+0f(x)=+∞\lim_{x\to a+0}f(x)=+\infty означает ∀E>0∃δ>0∀x:a<x<a+δ⟹f(x)>E.\forall E>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a<x<a+\delta
\Longrightarrow
f(x)>E. При приближении xx к aa справа функция становится больше любого положительного числа EE.

Проверка

Пример: f(x)=1x−a.f(x)=\frac1{x-a}.