Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 415

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 415

lim⁡x→∞(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5.\lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^5}.

Решение

Делим каждый из пяти множителей числителя на xx, а каждую из пяти одинаковых скобок знаменателя на xx. При x≠0x\ne0 получаем
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5=(1−1/x)(1−2/x)(1−3/x)(1−4/x)(1−5/x)(5−1/x)5.\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^5}
=\frac{(1-1/x)(1-2/x)(1-3/x)(1-4/x)(1-5/x)}{(5-1/x)^5}.При ∣x∣→∞|x|\to\infty каждая дробь k/xk/x стремится к нулю. Поэтому каждый множитель числителя стремится к 11, а знаменатель стремится к 55≠05^5\ne0. По правилам предела произведения и частногоlim⁡x→∞(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5=1⋅1⋅1⋅1⋅155.\lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^5}
=\frac{1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1}{5^5}.Вычисляем знаменатель: 52=255^2=25, 54=252=6255^4=25^2=625, 55=625⋅5=31255^5=625\cdot5=3125. Ответ:13125.\frac1{3125}.