Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 415

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 415

lim⁡x→∞(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5.\lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^5}.

Решение

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)=x5−15x4+85x3−225x2+274x−120,(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120, (5x−1)5=3125x5−3125x4+1250x3−250x2+25x−1.(5x-1)^5 = 3125x^5-3125x^4+1250x^3-250x^2+25x-1.

Разделим числитель и знаменатель на x5x^5: (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5=1−15x+85x2−225x3+274x4−120x53125−3125x+1250x2−250x3+25x4−1x5.\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^5}
=
\frac{1-\dfrac{15}{x}+\dfrac{85}{x^2}-\dfrac{225}{x^3}+\dfrac{274}{x^4}-\dfrac{120}{x^5}}
{3125-\dfrac{3125}{x}+\dfrac{1250}{x^2}-\dfrac{250}{x^3}+\dfrac{25}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}}.При x→∞x\to\infty имеем 1x→0,1x2→0,…,1x5→0.\frac1x\to0,\quad \frac1{x^2}\to0,\quad \ldots,\quad \frac1{x^5}\to0. Так как число слагаемых конечно, по теореме о пределе суммы числитель стремится к 11, а знаменатель – к 31253125: 1−15x+85x2−225x3+274x4−120x5→1,1-\frac{15}{x}+\frac{85}{x^2}-\frac{225}{x^3}+\frac{274}{x^4}-\frac{120}{x^5}\to1, 3125−3125x+1250x2−250x3+25x4−1x5→3125.3125-\frac{3125}{x}+\frac{1250}{x^2}-\frac{250}{x^3}+\frac{25}{x^4}-\frac1{x^5}\to3125.Поскольку предел знаменателя отличен от нуля, по теореме о пределе отношения получаем lim⁡x→∞(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(5x−1)5=13125.\boxed{
\lim_{x\to\infty}
\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1)^5}
=
\frac1{3125}
}.Примечание.

В этом решении нам фактически не были важны все остальные коэффициенты многочленов. Существенны только старшие степени и коэффициенты при них.

Действительно, если P(x)=a0xn+a1xn−1+…+an,Q(x)=b0xn+b1xn−1+…+bn,P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n,
\quad
Q(x)=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\ldots+b_n, то после деления числителя и знаменателя на xnx^n получаем P(x)Q(x)=a0+a1x+…+anxnb0+b1x+…+bnxn.\frac{P(x)}{Q(x)}
=
\frac{a_0+\dfrac{a_1}{x}+\ldots+\dfrac{a_n}{x^n}}
{b_0+\dfrac{b_1}{x}+\ldots+\dfrac{b_n}{x^n}}. При x→∞x\to\infty все слагаемые вида 1xk\dfrac{1}{x^k} стремятся к нулю, поэтому остаются только старшие коэффициенты a0a_0 и b0b_0, поэтому lim⁡x→∞P(x)Q(x)=a0b0,\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_0}{b_0}, если степени числителя и знаменателя одинаковы.

Проверка

Именно поэтому в данной задаче достаточно было заметить, что старший коэффициент числителя равен 11, а старший коэффициент знаменателя равен 55=31255^5=3125.
Демидович № 415 — решение