Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 407

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 407

Пусть y=f(x)y=f(x). Сформулировать с помощью неравенств, что значит:а) y→b−0 при x→a;б) y→b−0 при x→a−0;в) y→b−0 при x→a+0;г) y→b+0 при x→a;д) y→b+0 при x→a−0;е) y→b+0 при x→a+0;ж) y→b−0 при x→∞;з) y→b−0 при x→−∞;и) y→b−0 при x→+∞;к) y→b+0 при x→∞;л) y→b+0 при x→−∞;м) y→b+0 при x→+∞.\begin{array}{ll}
\text{а) }y\to b-0\text{ при }x\to a; &
\text{б) }y\to b-0\text{ при }x\to a-0;\\
\text{в) }y\to b-0\text{ при }x\to a+0; &
\text{г) }y\to b+0\text{ при }x\to a;\\
\text{д) }y\to b+0\text{ при }x\to a-0; &
\text{е) }y\to b+0\text{ при }x\to a+0;\\
\text{ж) }y\to b-0\text{ при }x\to\infty; &
\text{з) }y\to b-0\text{ при }x\to-\infty;\\
\text{и) }y\to b-0\text{ при }x\to+\infty; &
\text{к) }y\to b+0\text{ при }x\to\infty;\\
\text{л) }y\to b+0\text{ при }x\to-\infty; &
\text{м) }y\to b+0\text{ при }x\to+\infty.
\end{array}Привести соответствующие примеры.

Решение

Запись y→b−0y\to b-0 означает, что yy стремится к bb, оставаясь меньше bb. Запись y→b+0y\to b+0 означает, что yy стремится к bb, оставаясь больше bb. Все xx берутся из области определения функции; соответствующая точка должна быть предельной точкой этой области с указанной стороны.

Пункт а)

Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→ax\to a означает ∀ε>0∃δ>0∀x:0<∣x−a∣<δ⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
0<|x-a|<\delta
\Longrightarrow
b-\varepsilon<f(x)<b. При x→ax\to a значения функции приближаются к bb снизу.

Пример: f(x)=b−∣x−a∣.f(x)=b-|x-a|.

Пункт б)

Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→a−0x\to a-0 означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a−δ<x<a⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a-\delta<x<a
\Longrightarrow
b-\varepsilon<f(x)<b. При приближении xx к aa слева значения функции приближаются к bb снизу.

Пример: f(x)=b+x−a.f(x)=b+x-a.

Пункт в)

Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→a+0x\to a+0 означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a<x<a+δ⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a<x<a+\delta
\Longrightarrow
b-\varepsilon<f(x)<b. При приближении xx к aa справа значения функции приближаются к bb снизу.

Пример: f(x)=b−(x−a).f(x)=b-(x-a).

Пункт г)

Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→ax\to a означает ∀ε>0∃δ>0∀x:0<∣x−a∣<δ⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
0<|x-a|<\delta
\Longrightarrow
b<f(x)<b+\varepsilon. При x→ax\to a значения функции приближаются к bb сверху.

Пример: f(x)=b+∣x−a∣.f(x)=b+|x-a|.

Пункт д)

Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→a−0x\to a-0 означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a−δ<x<a⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a-\delta<x<a
\Longrightarrow
b<f(x)<b+\varepsilon. При приближении xx к aa слева значения функции приближаются к bb сверху.

Пример: f(x)=b−(x−a).f(x)=b-(x-a).

Пункт е)

Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→a+0x\to a+0 означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a<x<a+δ⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a<x<a+\delta
\Longrightarrow
b<f(x)<b+\varepsilon. При приближении xx к aa справа значения функции приближаются к bb сверху.

Пример: f(x)=b+x−a.f(x)=b+x-a.

Пункт ж)

Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→∞x\to\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
|x|>A
\Longrightarrow
b-\varepsilon<f(x)<b. При достаточно больших по модулю xx значения функции приближаются к bb снизу.

Пример: f(x)=b−1∣x∣.f(x)=b-\frac1{|x|}.

Пункт з)

Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→−∞x\to-\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:x<−A⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x<-A
\Longrightarrow
b-\varepsilon<f(x)<b. При x→−∞x\to-\infty значения функции приближаются к bb снизу.

Пример: f(x)=b+1x.f(x)=b+\frac1x.

Пункт и)

Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→+∞x\to+\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:x>A⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x>A
\Longrightarrow
b-\varepsilon<f(x)<b. При x→+∞x\to+\infty значения функции приближаются к bb снизу.

Пример: f(x)=b−1x.f(x)=b-\frac1x.

Пункт к)

Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→∞x\to\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
|x|>A
\Longrightarrow
b<f(x)<b+\varepsilon. При достаточно больших по модулю xx значения функции приближаются к bb сверху.

Пример: f(x)=b+1∣x∣.f(x)=b+\frac1{|x|}.

Пункт л)

Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→−∞x\to-\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:x<−A⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x<-A
\Longrightarrow
b<f(x)<b+\varepsilon. При x→−∞x\to-\infty значения функции приближаются к bb сверху.

Пример: f(x)=b−1x.f(x)=b-\frac1x.

Пункт м)

Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→+∞x\to+\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:x>A⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x>A
\Longrightarrow
b<f(x)<b+\varepsilon. При x→+∞x\to+\infty значения функции приближаются к bb сверху.

Проверка

Пример: f(x)=b+1x.f(x)=b+\frac1x.