Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 407

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 407

Пусть y=f(x)y=f(x). Сформулировать с помощью неравенств, что значит:а) y→b−0 при x→a;б) y→b−0 при x→a−0;в) y→b−0 при x→a+0;г) y→b+0 при x→a;д) y→b+0 при x→a−0;е) y→b+0 при x→a+0;ж) y→b−0 при x→∞;з) y→b−0 при x→−∞;и) y→b−0 при x→+∞;к) y→b+0 при x→∞;л) y→b+0 при x→−∞;м) y→b+0 при x→+∞.\begin{array}{ll}
\text{а) }y\to b-0\text{ при }x\to a; &
\text{б) }y\to b-0\text{ при }x\to a-0;\\
\text{в) }y\to b-0\text{ при }x\to a+0; &
\text{г) }y\to b+0\text{ при }x\to a;\\
\text{д) }y\to b+0\text{ при }x\to a-0; &
\text{е) }y\to b+0\text{ при }x\to a+0;\\
\text{ж) }y\to b-0\text{ при }x\to\infty; &
\text{з) }y\to b-0\text{ при }x\to-\infty;\\
\text{и) }y\to b-0\text{ при }x\to+\infty; &
\text{к) }y\to b+0\text{ при }x\to\infty;\\
\text{л) }y\to b+0\text{ при }x\to-\infty; &
\text{м) }y\to b+0\text{ при }x\to+\infty.
\end{array}Привести соответствующие примеры.

Решение

Идея

Запись y→b−0y\to b-0 означает, что yy стремится к bb, оставаясь меньше bb. Запись y→b+0y\to b+0 означает, что yy стремится к bb, оставаясь больше bb.
  1. 1

    Пункт а)

    Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→ax\to a означает ∀ε>0∃δ>0∀x:0<∣x−a∣<δ⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists\delta>0\quad
    \forall x:\quad
    0<|x-a|<\delta
    \Longrightarrow
    b-\varepsilon<f(x)<b.     При x→ax\to a значения функции приближаются к bb снизу.

    Пример: f(x)=b−∣x−a∣.f(x)=b-|x-a|.
  2. 2

    Пункт б)

    Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→a−0x\to a-0 означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a−δ<x<a⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists\delta>0\quad
    \forall x:\quad
    a-\delta<x<a
    \Longrightarrow
    b-\varepsilon<f(x)<b.     При приближении xx к aa слева значения функции приближаются к bb снизу.

    Пример: f(x)=b+x−a.f(x)=b+x-a.
  3. 3

    Пункт в)

    Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→a+0x\to a+0 означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a<x<a+δ⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists\delta>0\quad
    \forall x:\quad
    a<x<a+\delta
    \Longrightarrow
    b-\varepsilon<f(x)<b.     При приближении xx к aa справа значения функции приближаются к bb снизу.

    Пример: f(x)=b−(x−a).f(x)=b-(x-a).
  4. 4

    Пункт г)

    Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→ax\to a означает ∀ε>0∃δ>0∀x:0<∣x−a∣<δ⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists\delta>0\quad
    \forall x:\quad
    0<|x-a|<\delta
    \Longrightarrow
    b<f(x)<b+\varepsilon.     При x→ax\to a значения функции приближаются к bb сверху.

    Пример: f(x)=b+∣x−a∣.f(x)=b+|x-a|.
  5. 5

    Пункт д)

    Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→a−0x\to a-0 означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a−δ<x<a⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists\delta>0\quad
    \forall x:\quad
    a-\delta<x<a
    \Longrightarrow
    b<f(x)<b+\varepsilon.     При приближении xx к aa слева значения функции приближаются к bb сверху.

    Пример: f(x)=b−(x−a).f(x)=b-(x-a).
  6. 6

    Пункт е)

    Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→a+0x\to a+0 означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a<x<a+δ⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists\delta>0\quad
    \forall x:\quad
    a<x<a+\delta
    \Longrightarrow
    b<f(x)<b+\varepsilon.     При приближении xx к aa справа значения функции приближаются к bb сверху.

    Пример: f(x)=b+x−a.f(x)=b+x-a.
  7. 7

    Пункт ж)

    Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→∞x\to\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    |x|>A
    \Longrightarrow
    b-\varepsilon<f(x)<b.     При достаточно больших по модулю xx значения функции приближаются к bb снизу.

    Пример: f(x)=b−1∣x∣.f(x)=b-\frac1{|x|}.
  8. 8

    Пункт з)

    Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→−∞x\to-\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:x<−A⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    x<-A
    \Longrightarrow
    b-\varepsilon<f(x)<b.     При x→−∞x\to-\infty значения функции приближаются к bb снизу.

    Пример: f(x)=b+1x.f(x)=b+\frac1x.
  9. 9

    Пункт и)

    Утверждение y→b−0y\to b-0 при x→+∞x\to+\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:x>A⟹b−ε<f(x)<b.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    x>A
    \Longrightarrow
    b-\varepsilon<f(x)<b.     При x→+∞x\to+\infty значения функции приближаются к bb снизу.

    Пример: f(x)=b−1x.f(x)=b-\frac1x.
  10. 10

    Пункт к)

    Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→∞x\to\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    |x|>A
    \Longrightarrow
    b<f(x)<b+\varepsilon.     При достаточно больших по модулю xx значения функции приближаются к bb сверху.

    Пример: f(x)=b+1∣x∣.f(x)=b+\frac1{|x|}.
  11. 11

    Пункт л)

    Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→−∞x\to-\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:x<−A⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    x<-A
    \Longrightarrow
    b<f(x)<b+\varepsilon.     При x→−∞x\to-\infty значения функции приближаются к bb сверху.

    Пример: f(x)=b−1x.f(x)=b-\frac1x.
  12. 12

    Пункт м)

    Утверждение y→b+0y\to b+0 при x→+∞x\to+\infty означает ∀ε>0∃A>0∀x:x>A⟹b<f(x)<b+ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    x>A
    \Longrightarrow
    b<f(x)<b+\varepsilon.     При x→+∞x\to+\infty значения функции приближаются к bb сверху.

Проверка

Пример: f(x)=b+1x.f(x)=b+\frac1x.
Демидович № 407 — решение