Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 389

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить нижнюю и верхнюю грани функции на указанном промежутке.

Задача 389

f(x)=11+x2на (−∞,+∞).f(x)=\frac1{1+x^2}\quad\text{на }(-\infty,+\infty).

Решение

Рассмотрим функцию f(x)=11+x2,x∈R.f(x)=\frac1{1+x^2},\quad x\in\mathbb R. Так как x2≥0x^2\geq0, имеем 1+x2≥11+x^2\geq1, поэтому 0<11+x2≤1.0<\frac1{1+x^2}\leq1. Значение 11 достигается при x=0x=0.
Кроме того, 11+x2→0при ∣x∣→∞,\frac1{1+x^2}\to0\quad\text{при }|x|\to\infty, поэтому значения функции могут быть сколь угодно близки к нулю, хотя нуль не достигается.m[f]=0,M[f]=1.m[f]=0,\quad M[f]=1.