Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 389

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

f(x)=\frac1{1+x^2}\quad\text{на }(-\infty,+\infty).

Решение

Идея

Рассмотрим функцию

f(x)=\frac1{1+x^2},\quad x\in\mathbb R.

Так как

x^2\geq0

, имеем

1+x^2\geq1

, поэтому

0<\frac1{1+x^2}\leq1.

Значение

1

достигается при

x=0

Кроме того,

\frac1{1+x^2}\to0\quad\text{при }|x|\to\infty,

поэтому значения функции могут быть сколь угодно близки к нулю, хотя нуль не достигается.

Проверка

\boxed{m[f]=0,\quad M[f]=1}.