Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 417

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 417

lim⁡x→∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12.\lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}.

Решение

Обозначим S=1+2+…+n=n(n+1)2.S=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.
Сначала рассмотрим x→+∞x\to+\infty. В числителе вынесем из каждого множителя соответствующую степень xx: (x+1)(x2+1)⋯(xn+1)=xS(1+1x)(1+1x2)⋯(1+1xn).(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)
=
x^S\left(1+\frac1x\right)
\left(1+\frac1{x^2}\right)\cdots
\left(1+\frac1{x^n}\right). В знаменателе [(nx)n+1]n+12=nSxS(1+1nnxn)n+12.\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}
=
n^Sx^S
\left(1+\frac1{n^nx^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}. Тогда (x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12=1nS (1+1x)(1+1x2)⋯(1+1xn)(1+1nnxn)n+12.\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}
{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}
=
\frac1{n^S}\,
\frac{\left(1+\frac1x\right)
\left(1+\frac1{x^2}\right)\cdots
\left(1+\frac1{x^n}\right)}
{\left(1+\frac1{n^nx^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}}. При x→+∞x\to+\infty все слагаемые вида 1xk\dfrac1{x^k} стремятся к нулю, а число множителей конечно. Поэтому lim⁡x→+∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12=1nS=1nn(n+1)2.\lim_{x\to+\infty}
\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}
{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}
=
\frac1{n^S}
=
\frac1{n^{\frac{n(n+1)}2}}
.
Теперь учтем, что в записи x→∞x\to\infty рассматриваются оба направления: x→+∞x\to+\infty и x→−∞x\to-\infty.

При x→−∞x\to-\infty модуль отношения имеет тот же предел 1nS,S=n(n+1)2.\frac1{n^S}, \quad S=\frac{n(n+1)}2. Остается определить знак отношения. Рассмотрим отдельно случаи в зависимости от остатка nn при делении на 44.

В числителе (x+1)(x2+1)⋯(xn+1)(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1) при больших отрицательных xx множители с нечетными степенями xx отрицательны, а множители с четными степенями положительны. Поэтому знак числителя определяется количеством нечетных чисел среди 1,2,…,n1,2,\ldots,n.

Пусть n=4kn=4k.

Среди чисел 1,2,…,4k1,2,\ldots,4k имеется 2k2k нечетных, поэтому знак числителя равен (−1)2k=1.(-1)^{2k}=1. Так как nn четно, при x→−∞x\to-\infty имеем (nx)n+1>0(nx)^n+1>0, следовательно, знаменатель положителен. Поэтому все отношение положительно и lim⁡x→−∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12=1nS.\lim_{x\to-\infty}
\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}
{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}
=
\frac1{n^S}.Пусть n=4k+1n=4k+1.

Количество нечетных чисел среди 1,2,…,n1,2,\ldots,n равно 2k+12k+1, поэтому числитель отрицателен. При этом nn нечетно, значит (nx)n+1<0(nx)^n+1<0 при достаточно больших по модулю отрицательных xx. Показатель n+12=2k+1\frac{n+1}{2}=2k+1 нечетен, поэтому знаменатель также отрицателен. Следовательно, отношение положительно и lim⁡x→−∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12=1nS.\lim_{x\to-\infty}
\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}
{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}
=
\frac1{n^S}.Пусть n=4k+2n=4k+2.

Количество нечетных чисел среди 1,2,…,n1,2,\ldots,n равно 2k+12k+1, поэтому числитель отрицателен. Так как nn четно, имеем (nx)n+1>0(nx)^n+1>0, а значит, знаменатель положителен. Поэтому отношение отрицательно и lim⁡x→−∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12=−1nS.\lim_{x\to-\infty}
\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}
{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}
=
-\frac1{n^S}.Пусть n=4k+3n=4k+3.

Количество нечетных чисел равно 2k+22k+2, поэтому числитель положителен. При этом (nx)n+1<0(nx)^n+1<0, но n+12=2k+2\frac{n+1}{2}=2k+2 четно, поэтому знаменатель положителен. Следовательно, lim⁡x→−∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12=1nS.\lim_{x\to-\infty}
\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}
{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}
=
\frac1{n^S}.

Проверка

Итак, при x→−∞x\to-\infty знак отличается от положительного только в случае n≡2(mod4).n\equiv2\pmod4. Поскольку при x→+∞x\to+\infty всегда имеем lim⁡x→+∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12=1nS,\lim_{x\to+\infty}
\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}
{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}
=
\frac1{n^S}, то lim⁡x→∞(x+1)(x2+1)⋯(xn+1)[(nx)n+1]n+12=1nn(n+1)2,n≢2(mod4).\lim_{x\to\infty}
\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}
{\bigl[(nx)^n+1\bigr]^{\frac{n+1}{2}}}
=
\frac1{n^{\frac{n(n+1)}2}},
\quad n\not\equiv2\pmod4
. При n≡2(mod4)n\equiv2\pmod4 предел при x→∞x\to\infty не существует, поскольку пределы при x→+∞x\to+\infty и x→−∞x\to-\infty имеют противоположные знаки.