Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 388

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить нижнюю и верхнюю грани функции на указанном промежутке.

Задача 388

f(x)=x2на [−2,5].f(x)=x^2\quad\text{на }[-2,5].

Решение

На отрезке [−2,5][-2,5] квадрат неотрицателен, а точка 00 принадлежит отрезку. Поэтому наименьшее значение равно f(0)=0f(0)=0. Для любого x∈[−2,5]x\in[-2,5] имеем ∣x∣⩽5|x|\leqslant5, откуда x2⩽25x^2\leqslant25. При x=5x=5 получаем f(5)=52=25f(5)=5^2=25, то есть верхняя оценка достигается.
m[f]=0,M[f]=25.m[f]=0,\quad M[f]=25.