Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 420

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to1}\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}.

Решение

Идея

Так как при

x=1

числитель и знаменатель обращаются в нуль, вынесем множитель

x-1

x^4-3x+2=(x-1)(x^3+x^2+x-2),

x^5-4x+3=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3).

При

x\neq1

\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3} = \frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3}.

Проверка

При

x\to1

числитель последней дроби стремится к

1

, а знаменатель также стремится к

1

. Поэтому по теореме о пределе отношения

\boxed{\lim_{x\to1}\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}=1}.