Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 420

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 420

lim⁡x→1x4−3x+2x5−4x+3.\lim_{x\to1}\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}.

Решение

Так как при x=1x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль, вынесем множитель x−1x-1: x4−3x+2=(x−1)(x3+x2+x−2),x^4-3x+2=(x-1)(x^3+x^2+x-2), x5−4x+3=(x−1)(x4+x3+x2+x−3).x^5-4x+3=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3).
При x≠1x\neq1 x4−3x+2x5−4x+3=x3+x2+x−2x4+x3+x2+x−3.\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3} = \frac{x^3+x^2+x-2}{x^4+x^3+x^2+x-3}.

Проверка

При x→1x\to1 числитель последней дроби стремится к 11, а знаменатель также стремится к 11. Поэтому по теореме о пределе отношения lim⁡x→1x4−3x+2x5−4x+3=1.\lim_{x\to1}\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}=1.