Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 423

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 423

lim⁡x→2(x2−x−2)30(x3−12x+16)10.\lim_{x\to2}\frac{(x^2-x-2)^{30}}{(x^3-12x+16)^{10}}.

Решение

Разложим выражения на множители: x2−x−2=(x−2)(x+1),x^2-x-2=(x-2)(x+1), x3−12x+16=(x−2)2(x+4).x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4). При x≠2x\neq2 (x2−x−2)30(x3−12x+16)10=(x−2)30(x+1)30(x−2)20(x+4)10=(x−2)10(x+1)30(x+4)10.\frac{(x^2-x-2)^{30}}{(x^3-12x+16)^{10}}
=
\frac{(x-2)^{30}(x+1)^{30}}
{(x-2)^{20}(x+4)^{10}}
=
(x-2)^{10}\frac{(x+1)^{30}}{(x+4)^{10}}.
lim⁡x→2(x2−x−2)30(x3−12x+16)10=0.\lim_{x\to2}\frac{(x^2-x-2)^{30}}{(x^3-12x+16)^{10}}=0.