Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 423

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to2}\frac{(x^2-x-2)^{30}}{(x^3-12x+16)^{10}}.

Решение

Идея

Разложим выражения на множители:

x^2-x-2=(x-2)(x+1),

x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4).

При

x\neq2

\frac{(x^2-x-2)^{30}}{(x^3-12x+16)^{10}}=\frac{(x-2)^{30}(x+1)^{30}}{(x-2)^{20}(x+4)^{10}}=(x-2)^{10}\frac{(x+1)^{30}}{(x+4)^{10}}.

При

x\to2

первый множитель стремится к нулю, а второй – к конечному числу

\dfrac{3^{30}}{6^{10}}

. Поэтому по теореме о пределе произведения

\boxed{\lim_{x\to2}\frac{(x^2-x-2)^{30}}{(x^3-12x+16)^{10}}=0}.