Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 403

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 403

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:а) lim⁡x→af(x)=b;б) lim⁡x→a−0f(x)=b;в) lim⁡x→a+0f(x)=b.\text{а) }\lim_{x\to a}f(x)=b;\quad
\text{б) }\lim_{x\to a-0}f(x)=b;\quad
\text{в) }\lim_{x\to a+0}f(x)=b.Привести соответствующие примеры.

Решение

Все кванторы по xx ниже относятся к области определения функции. Предполагается, что из этой области можно приближаться к указанной точке с нужной стороны или уходить в указанную бесконечность.

Пункт а)

Равенство lim⁡x→af(x)=b\lim_{x\to a}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃δ>0∀x:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
0<|x-a|<\delta
\Longrightarrow
|f(x)-b|<\varepsilon.
Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такая проколотая δ\delta-окрестность точки aa, что для всех xx из этой окрестности значения f(x)f(x) отличаются от bb меньше чем на ε\varepsilon.

Например, lim⁡x→2x2=4.\lim_{x\to2}x^2=4.

Пункт б)

Равенство lim⁡x→a−0f(x)=b\lim_{x\to a-0}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a−δ<x<a⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a-\delta<x<a
\Longrightarrow
|f(x)-b|<\varepsilon.
Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такая левая полуокрестность точки aa, что для всех xx из этой полуокрестности значения f(x)f(x) отличаются от bb меньше чем на ε\varepsilon.

Например, lim⁡x→1−0x2=1.\lim_{x\to1-0}x^2=1.

Пункт в)

Равенство lim⁡x→a+0f(x)=b\lim_{x\to a+0}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃δ>0∀x:a<x<a+δ⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
a<x<a+\delta
\Longrightarrow
|f(x)-b|<\varepsilon.
Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такая правая полуокрестность точки aa, что для всех xx из этой полуокрестности значения f(x)f(x) отличаются от bb меньше чем на ε\varepsilon.

Проверка

Например, lim⁡x→1+0x2=1.\lim_{x\to1+0}x^2=1.