Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 386

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что функция

f(x)=\frac{x}{1+x}

в области

0\le x<+\infty

имеет нижнюю грань

m=0

и верхнюю грань

M=1

Доказательство

Идея

Рассмотрим функцию

f(x)=\frac{x}{1+x},\quad x\geq0.

Так как

x\geq0

1+x>0

, имеем

f(x)\geq0.

При

x=0

получаем

f(0)=0

, поэтому нижняя грань функции равна

\boxed{m=0}.

1
С другой стороны, $\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}<1,$ поэтому число $1$ является верхней гранью.
2
Покажем, что никакое число $M<1$ не является верхней гранью. Действительно, неравенство $\frac{x}{1+x}>M$ при $M<1$ выполняется, если $x>\frac{M}{1-M}.$ Значения функции могут быть сколь угодно близки к $1$ снизу.

Проверка

\boxed{m=0,\quad M=1}.

При этом нижняя грань достигается, а верхняя грань не достигается.

Что и требовалось доказать