Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 381

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что функция, определяемая условиями

f(x)=n,\quad \text{если }x=\frac{m}{n},

где

m

n

— взаимно простые числа и

n>0

, и

f(x)=0,\quad \text{если }x\text{ иррационально},

конечна, но не ограничена в каждой точке

x

(т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки).

Доказательство

Идея

В каждой точке функция принимает конечное значение: если

x=\dfrac{m}{n}

– рациональное число, записанное в несократимом виде, то

f(x)=n<+\infty

, а если

x

иррационально, то

f(x)=0

Покажем, что функция не ограничена ни в какой окрестности произвольной точки

x_0

. Рассмотрим окрестность

(x_0-\delta,x_0+\delta),\quad \delta>0.

Пусть

A>0

– произвольное число. Выберем простое число

p

настолько большим, чтобы

p>A,\quad p>4,\quad p\delta>2.

Интервал

\bigl(p(x_0-\delta),\,p(x_0+\delta)\bigr)

имеет длину

2p\delta>4

, поэтому содержит несколько последовательных целых чисел. Среди них можно выбрать целое число

m

, не делящееся на

p

. Тогда

(m,p)=1

x_0-\delta<\frac{m}{p}<x_0+\delta.

Поскольку дробь

\dfrac{m}{p}

несократима, имеем

f\left(\frac{m}{p}\right)=p>A.

Проверка

Итак, в любой окрестности любой точки

x_0

функция принимает сколь угодно большие значения. Следовательно, функция конечна в каждой точке, но не ограничена ни в одной окрестности этой точки.

Что и требовалось доказать