Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 414

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 414

lim⁡x→0(1+mx)n−(1+nx)mx2(m и n — натуральные числа).\lim_{x\to0}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}
\quad(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа}).

Решение

Идея

По формуле бинома Ньютона (1+mx)n=1+mnx+Cn2m2x2+∑k=3nCnkmkxk,(1+mx)^n
=
1+mnx+C_n^2m^2x^2+\sum_{k=3}^{n}C_n^k m^k x^k, а (1+nx)m=1+mnx+Cm2n2x2+∑k=3mCmknkxk.(1+nx)^m
=
1+mnx+C_m^2n^2x^2+\sum_{k=3}^{m}C_m^k n^k x^k. После вычитания постоянные и линейные члены сокращаются. Коэффициент при x2x^2 равен Cn2m2−Cm2n2=n(n−1)2m2−m(m−1)2n2=mn(n−m)2.C_n^2m^2-C_m^2n^2
=
\frac{n(n-1)}{2}m^2-\frac{m(m-1)}{2}n^2
=
\frac{mn(n-m)}{2}. При x≠0x\neq0 (1+mx)n−(1+nx)mx2=mn(n−m)2+xH(x),\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2} = \frac{mn(n-m)}2+xH(x), где H(x)H(x) – некоторый многочлен.
Положим C=∑k=3n(nk)mk+∑k=3m(mk)nk.C=
\sum_{k=3}^{n}\binom{n}{k}m^k+
\sum_{k=3}^{m}\binom{m}{k}n^k. При ∣x∣<1|x|<1 имеем ∣H(x)∣≤C|H(x)|\leq C. Зафиксируем произвольное ε>0\varepsilon>0 и выберем δ=min⁡{1,εC+1}.\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{C+1}\right\}. Тогда при 0<∣x∣<δ0<|x|<\delta ∣(1+mx)n−(1+nx)mx2−mn(n−m)2∣=∣xH(x)∣≤C∣x∣<ε.\left|
\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}
-\frac{mn(n-m)}2
\right|
=
|xH(x)|
\leq C|x|
<\varepsilon.lim⁡x→0(1+mx)n−(1+nx)mx2=mn(n−m)2.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}
=
\frac{mn(n-m)}2
}.

Проверка

Итак, ∀ε>0∃δ>00<∣x∣<δ⟹∣(1+mx)n−(1+nx)mx2−mn(n−m)2∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
0<|x|<\delta
\Longrightarrow
\left|
\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}
-\frac{mn(n-m)}2
\right|<\varepsilon.
Демидович № 414 — решение