Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 414

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 414

lim⁡x→0(1+mx)n−(1+nx)mx2(m и n — натуральные числа).\lim_{x\to0}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}
\quad(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа}).

Решение

По формуле бинома Ньютона (1+mx)n=1+mnx+Cn2m2x2+∑k=3nCnkmkxk,(1+mx)^n
=
1+mnx+C_n^2m^2x^2+\sum_{k=3}^{n}C_n^k m^k x^k, а (1+nx)m=1+mnx+Cm2n2x2+∑k=3mCmknkxk.(1+nx)^m
=
1+mnx+C_m^2n^2x^2+\sum_{k=3}^{m}C_m^k n^k x^k. После вычитания постоянные и линейные члены сокращаются. Коэффициент при x2x^2 равен Cn2m2−Cm2n2=n(n−1)2m2−m(m−1)2n2=mn(n−m)2.C_n^2m^2-C_m^2n^2
=
\frac{n(n-1)}{2}m^2-\frac{m(m-1)}{2}n^2
=
\frac{mn(n-m)}{2}. При x≠0x\neq0 (1+mx)n−(1+nx)mx2=mn(n−m)2+xH(x),\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2} = \frac{mn(n-m)}2+xH(x), где H(x)H(x) – некоторый многочлен. Здесь (n2)=n(n−1)/2\binom n2=n(n-1)/2; при n=1n=1 этот коэффициент равен нулю. Сумма, у которой нижний индекс больше верхнего, считается нулём. Многочлен остатка задан явно:H(x)=∑k=3n(nk)mkxk−3−∑k=3m(mk)nkxk−3.H(x)=\sum_{k=3}^n\binom nk m^k x^{k-3}-\sum_{k=3}^m\binom mk n^k x^{k-3}.
lim⁡x→0(1+mx)n−(1+nx)mx2=mn(n−m)2.\lim_{x\to0}
\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}
=
\frac{mn(n-m)}2
.

Проверка

Итак, ∀ε>0∃δ>00<∣x∣<δ⟹∣(1+mx)n−(1+nx)mx2−mn(n−m)2∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
0<|x|<\delta
\Longrightarrow
\left|
\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}
-\frac{mn(n-m)}2
\right|<\varepsilon.