Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 410

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 410

ПустьR(x)=P(x)Q(x),R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},где P(x)P(x) и Q(x)Q(x) — многочлены от xx иP(a)=Q(a)=0.P(a)=Q(a)=0.Какие возможные значения имеет выражениеlim⁡x→aP(x)Q(x) ?\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}\,?

Решение

Знаменатель QQ не должен быть тождественно нулевым: иначе дробь нигде не определена. Если P≡0P\equiv0, то в каждой точке области определения дробь равна нулю и её предел равен нулю. Далее считаем P≢0P\not\equiv0 и Q≢0Q\not\equiv0.

Поскольку P(a)=Q(a)=0,P(a)=Q(a)=0, оба многочлена делятся на x−ax-a.

Пусть kk и ll – соответственно кратности корня aa многочленов PP и QQ.

Тогда P(x)=(x−a)kP1(x),Q(x)=(x−a)lQ1(x),P(x)=(x-a)^kP_1(x),\quad Q(x)=(x-a)^lQ_1(x), где P1(a)≠0,Q1(a)≠0.P_1(a)\neq0,\quad Q_1(a)\neq0. При x≠ax\neq a P(x)Q(x)=(x−a)k−lP1(x)Q1(x),\frac{P(x)}{Q(x)}=(x-a)^{k-l}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)},
Так как P1(x)P_1(x) и Q1(x)Q_1(x) являются многочленами, то lim⁡x→aP1(x)=P1(a),lim⁡x→aQ1(x)=Q1(a).\lim_{x\to a}P_1(x)=P_1(a),
\quad
\lim_{x\to a}Q_1(x)=Q_1(a). При этом Q1(a)≠0Q_1(a)\neq0. Поэтому по теореме о пределе частного lim⁡x→aP1(x)Q1(x)=lim⁡x→aP1(x)lim⁡x→aQ1(x)=P1(a)Q1(a).\lim_{x\to a}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}
=
\frac{\lim\limits_{x\to a}P_1(x)}
{\lim\limits_{x\to a}Q_1(x)}
=
\frac{P_1(a)}{Q_1(a)}. Кроме того, поскольку P1(a)≠0P_1(a)\neq0 и Q1(a)≠0Q_1(a)\neq0, имеем P1(a)Q1(a)≠0.\frac{P_1(a)}{Q_1(a)}\neq0. Отсюда P1(x)Q1(x)→P1(a)Q1(a)≠0.\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} \to \frac{P_1(a)}{Q_1(a)}\neq0.
Если k>lk>l, то (x−a)k−l→0,(x-a)^{k-l}\to0, и поэтому lim⁡x→aP(x)Q(x)=0.\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=0.
Если k=lk=l, то lim⁡x→aP(x)Q(x)=P1(a)Q1(a).\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}
=\frac{P_1(a)}{Q_1(a)}. Итак, предел может быть любым ненулевым вещественным числом.
Если k<lk<l, положим r=l−k>0r=l-k>0. Тогда P(x)Q(x)=P1(x)(x−a)rQ1(x).\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x)}{(x-a)^rQ_1(x)}. Если rr четно, то знак функции с обеих сторон от aa одинаков, поэтому в зависимости от знака P1(a)Q1(a)\dfrac{P_1(a)}{Q_1(a)} получаем +∞или−∞.+\infty\quad\text{или}\quad-\infty. Если rr нечетно, то знаки с разных сторон от aa противоположны; при этом ∣P(x)Q(x)∣→+∞.\left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. В принятой записи это означает lim⁡x→aP(x)Q(x)=∞.\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\infty.Возможны любой конечный вещественный предел, а также значения +∞+\infty, −∞-\infty и ∞\infty.

Проверка

Например: (x−a)2x−a→0,c(x−a)x−a→c,x−a(x−a)3→+∞,−x−a(x−a)3→−∞,x−a(x−a)2→∞.\frac{(x-a)^2}{x-a}\to0,\quad \frac{c(x-a)}{x-a}\to c,
\frac{x-a}{(x-a)^3}\to+\infty,\quad
-\frac{x-a}{(x-a)^3}\to-\infty,\quad
\frac{x-a}{(x-a)^2}\to\infty.