Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 410

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 410

Пусть

R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},

где

P(x)

Q(x)

— многочлены от

x

P(a)=Q(a)=0.

Какие возможные значения имеет выражение

\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}\,?

Решение

1
Пусть $P\not\equiv0$ и $Q\not\equiv0$ .

Поскольку $P(a)=Q(a)=0,$ оба многочлена делятся на $x-a$ .

Пусть $k$ и $l$ – соответственно кратности корня $a$ многочленов $P$ и $Q$ .

Тогда $P(x)=(x-a)^kP_1(x),\quad Q(x)=(x-a)^lQ_1(x),$ где $P_1(a)\neq0,\quad Q_1(a)\neq0.$ При $x\neq a$ $\frac{P(x)}{Q(x)}=(x-a)^{k-l}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)},$
2
Так как $P_1(x)$ и $Q_1(x)$ являются многочленами, то $\lim_{x\to a}P_1(x)=P_1(a),\quad\lim_{x\to a}Q_1(x)=Q_1(a).$ При этом $Q_1(a)\neq0$ . Поэтому по теореме о пределе частного $\lim_{x\to a}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}P_1(x)}{\lim\limits_{x\to a}Q_1(x)}=\frac{P_1(a)}{Q_1(a)}.$ Кроме того, поскольку $P_1(a)\neq0$ и $Q_1(a)\neq0$ , имеем $\frac{P_1(a)}{Q_1(a)}\neq0.$ Отсюда $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} \to \frac{P_1(a)}{Q_1(a)}\neq0.$
3
Если $k>l$ , то $(x-a)^{k-l}\to0,$ и поэтому $\boxed{\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=0}.$
4
Если $k=l$ , то $\boxed{\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(a)}{Q_1(a)}}.$ Итак, предел может быть любым ненулевым вещественным числом.
5
Если $k<l$ , положим $r=l-k>0$ . Тогда $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x)}{(x-a)^rQ_1(x)}.$ Если $r$ четно, то знак функции с обеих сторон от $a$ одинаков, поэтому в зависимости от знака $\dfrac{P_1(a)}{Q_1(a)}$ получаем $\boxed{+\infty\quad\text{или}\quad-\infty}.$ Если $r$ нечетно, то знаки с разных сторон от $a$ противоположны; при этом $\left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty.$ В принятой записи это означает $\boxed{\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\infty}.$ Возможны любой конечный вещественный предел, а также значения $+\infty$ , $-\infty$ и $\infty$ .

Проверка

Например:

\frac{(x-a)^2}{x-a}\to0,\quad \frac{c(x-a)}{x-a}\to c,\frac{x-a}{(x-a)^3}\to+\infty,\quad-\frac{x-a}{(x-a)^3}\to-\infty,\quad\frac{x-a}{(x-a)^2}\to\infty.