Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 397

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 397

Определить колебание функции f(x)=x2f(x)=x^2 на интервалах:а) (1;3);б) (1,9;2,1);в) (1,99;2,01);г) (1,999;2,001).\text{а) }(1;3);\quad
\text{б) }(1{,}9;2{,}1);\quad
\text{в) }(1{,}99;2{,}01);\quad
\text{г) }(1{,}999;2{,}001).

Решение

Колебание на промежутке есть разность верхней и нижней граней функции. Все заданные интервалы лежат на положительной полуоси, где квадрат строго возрастает. Поэтому на (a,b)(a,b) имеем m[f]=a2m[f]=a^2, M[f]=b2M[f]=b^2, и
ω(f;(a,b))=b2−a2=(b−a)(a+b).\omega(f;(a,b))=b^2-a^2=(b-a)(a+b).Во всех четырёх случаях a+b=4a+b=4. Ширина интервала b−ab-a последовательно равна 22, 0,20{,}2, 0,020{,}02 и 0,0020{,}002. Умножая эти числа на 44, получаем соответственно 88, 0,80{,}8, 0,080{,}08 и 0,0080{,}008. Интервалы открытые, но это не меняет значения граней.