Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 397

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 397

Определить колебание функции f(x)=x2f(x)=x^2 на интервалах:а) (1;3);б) (1,9;2,1);в) (1,99;2,01);г) (1,999;2,001).\text{а) }(1;3);\quad
\text{б) }(1{,}9;2{,}1);\quad
\text{в) }(1{,}99;2{,}01);\quad
\text{г) }(1{,}999;2{,}001).

Решение

Идея

Колебанием функции на промежутке называется разность между ее верхней и нижней гранями: ω=M[f]−m[f].\omega=M[f]-m[f]. Функция f(x)=x2f(x)=x^2 на всех указанных интервалах положительна и строго возрастает. Поэтому на интервале (a,b)(a,b) m[f]=a2,M[f]=b2,m[f]=a^2,\quad M[f]=b^2, и, следовательно, ω=b2−a2=(b−a)(b+a).\omega=b^2-a^2=(b-a)(b+a).
  1. 1

    Пункт а)

    На интервале (1;3)(1;3): ω=(3−1)(3+1)=2⋅4=8.\omega=(3-1)(3+1)=2\cdot4=\boxed{8}.
  2. 2

    Пункт б)

    На интервале (1,9;2,1)(1{,}9;2{,}1): ω=(2,1−1,9)(2,1+1,9)=0,2⋅4=0,8.\omega=(2{,}1-1{,}9)(2{,}1+1{,}9)=0{,}2\cdot4=\boxed{0{,}8}.
  3. 3

    Пункт в)

    На интервале (1,99;2,01)(1{,}99;2{,}01): ω=(2,01−1,99)(2,01+1,99)=0,02⋅4=0,08.\omega=(2{,}01-1{,}99)(2{,}01+1{,}99)=0{,}02\cdot4=\boxed{0{,}08}.
  4. 4

    Пункт г)

    На интервале (1,999;2,001)(1{,}999;2{,}001): ω=(2,001−1,999)(2,001+1,999)=0,002⋅4=0,008.\omega=(2{,}001-1{,}999)(2{,}001+1{,}999)=0{,}002\cdot4=\boxed{0{,}008}.
Демидович № 397 — решение