Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 419

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 419

lim⁡x→1x3−3x+2x4−4x+3.\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}.

Решение

Разложим числитель и знаменатель на множители:

x3−3x+2=(x−1)2(x+2),x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2), x4−4x+3=(x−1)2(x2+2x+3).x^4-4x+3=(x-1)^2(x^2+2x+3). При x≠1x\neq1 x3−3x+2x4−4x+3=x+2x2+2x+3.\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3} = \frac{x+2}{x^2+2x+3}.
Теперь предел знаменателя при x→1x\to1 равен 6≠06\neq0, поэтому по теореме о пределе отношения lim⁡x→1x+2x2+2x+3=1+21+2+3=12.\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x^2+2x+3}
=
\frac{1+2}{1+2+3}
=
\frac12.

Проверка

lim⁡x→1x3−3x+2x4−4x+3=12.\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}=\frac12.