Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 419

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}.

Решение

1
Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2),$ $x^4-4x+3=(x-1)^2(x^2+2x+3).$ При $x\neq1$ $\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3} = \frac{x+2}{x^2+2x+3}.$
2
Теперь предел знаменателя при $x\to1$ равен $6\neq0$ , поэтому по теореме о пределе отношения $\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x^2+2x+3}=\frac{1+2}{1+2+3}=\frac12.$

Проверка

\boxed{\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}=\frac12}.