Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 383

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что функция

f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}

ограничена в интервале

-\infty<x<+\infty

Доказательство

Идея

Рассмотрим функцию

f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}.

f(x)>0

при всех

x\in\mathbb R

1
Если $|x|\leq1$ , то $1+x^2\leq2$ , а $1+x^4\geq1$ , поэтому $0<f(x)\leq2.$
2
Если $|x|\geq1$ , то $1+x^2\leq2x^2$ , а $1+x^4\geq x^4$ , поэтому $0<f(x)\leq\frac{2x^2}{x^4}=\frac2{x^2}\leq2.$

Проверка

Итак, при всех

x\in\mathbb R

0<f(x)\leq2.

Функция ограничена на всей числовой прямой.

Что и требовалось доказать