Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 383

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 383

Показать, что функцияf(x)=1+x21+x4f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}ограничена в интервале −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty.

Доказательство

Рассмотрим функцию f(x)=1+x21+x4.f(x)=\frac{1+x^2}{1+x^4}. f(x)>0f(x)>0 при всех x∈Rx\in\mathbb R.

Если ∣x∣≤1|x|\leq1, то 1+x2≤21+x^2\leq2, а 1+x4≥11+x^4\geq1, поэтому 0<f(x)≤2.0<f(x)\leq2.
Если ∣x∣≥1|x|\geq1, то 1+x2≤2x21+x^2\leq2x^2, а 1+x4≥x41+x^4\geq x^4, поэтому 0<f(x)≤2x2x4=2x2≤2.0<f(x)\leq\frac{2x^2}{x^4}=\frac2{x^2}\leq2.

Итак, при всех x∈Rx\in\mathbb R 0<f(x)≤2.0<f(x)\leq2. Функция ограничена на всей числовой прямой.

Что и требовалось доказать