Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 422

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 422

lim⁡x→−1x3−2x−1x5−2x−1.\lim_{x\to-1}\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1}.

Решение

Разложим числитель и знаменатель на множители: x3−2x−1=(x+1)(x2−x−1),x^3-2x-1=(x+1)(x^2-x-1), x5−2x−1=(x+1)(x4−x3+x2−x−1).x^5-2x-1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x-1).
При x≠−1x\neq-1 x3−2x−1x5−2x−1=x2−x−1x4−x3+x2−x−1.\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1} = \frac{x^2-x-1}{x^4-x^3+x^2-x-1}.

Проверка

При x→−1x\to-1 числитель последней дроби стремится к 11, а знаменатель – к 33. Поэтому lim⁡x→−1x3−2x−1x5−2x−1=13.\lim_{x\to-1}\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1}=\frac13.