Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 425

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 425

lim⁡x→1xm−1xn−1(m и n — натуральные числа).\lim_{x\to1}\frac{x^m-1}{x^n-1}\quad(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа}).

Решение

Используем формулу разности степеней:

xm−1=(x−1)(1+x+…+xm−1),x^m-1=(x-1)(1+x+\ldots+x^{m-1}), xn−1=(x−1)(1+x+…+xn−1).x^n-1=(x-1)(1+x+\ldots+x^{n-1}).

При x≠1x\neq1 xm−1xn−1=1+x+…+xm−11+x+…+xn−1.\frac{x^m-1}{x^n-1} = \frac{1+x+\ldots+x^{m-1}} {1+x+\ldots+x^{n-1}}.

Проверка

При x→1x\to1 числитель стремится к mm, а знаменатель – к nn. Так как n≠0n\neq0, по теореме о пределе отношения получаем lim⁡x→1xm−1xn−1=mn.\lim_{x\to1}\frac{x^m-1}{x^n-1}=\frac mn.