Демидович — задача 384

1. 1
   Рассмотрим функцию $f(x)=\frac1x\cos\frac1x.$
2. 2
   Покажем, что она не ограничена ни в какой окрестности точки $x=0$. Возьмем последовательность $x_n=\frac{1}{2\pi n}.$ Тогда $x_n\to0$ и $f(x_n)=2\pi n\cos(2\pi n)=2\pi n\to+\infty.$ Функция не ограничена в любой окрестности точки $0$.
   
   Однако функция не является бесконечно большой при $x\to0$. Возьмем последовательность $y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi n}.$ Тогда $y_n\to0$, но $$f(y_n)=\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=0.$$
3. 3
   Итак, сколь угодно близко к нулю функция принимает значение $0$.

Что и требовалось доказать