Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 384

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 384

Показать, что функцияf(x)=1xcos⁡1xf(x)=\frac1x\cos\frac1xне ограничена в любой окрестности точки x=0x=0, однако не является бесконечно большой при x→0x\to0.

Доказательство

Рассмотрим функцию f(x)=1xcos⁡1x.f(x)=\frac1x\cos\frac1x.
Покажем, что она не ограничена ни в какой окрестности точки x=0x=0. Возьмем последовательность xn=12πn.x_n=\frac{1}{2\pi n}. Тогда xn→0x_n\to0 и f(xn)=2πncos⁡(2πn)=2πn→+∞.f(x_n)=2\pi n\cos(2\pi n)=2\pi n\to+\infty. Функция не ограничена в любой окрестности точки 00.

Однако функция не является бесконечно большой при x→0x\to0. Возьмем последовательность yn=1π2+πn.y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi n}. Тогда yn→0y_n\to0, но f(yn)=(π2+πn)cos⁡(π2+πn)=0.f(y_n)=\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=0.
Итак, сколь угодно близко к нулю функция принимает значение 00.

Поэтому ∣f(x)∣↛+∞(x→0).|f(x)|\not\to+\infty\quad(x\to0). Функция не ограничена в любой окрестности точки 00, но не является бесконечно большой при x→0x\to0.

Что и требовалось доказать