Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 411

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти пределы:

Задача 411

а) lim⁡x→0x2−12x2−x−1;б) lim⁡x→1x2−12x2−x−1;в) lim⁡x→∞x2−12x2−x−1.\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1};\quad
\text{б) }\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1};\quad
\text{в) }\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}.

Решение

Пункт а)

Рассмотрим предел lim⁡x→0x2−12x2−x−1.\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}. Разложим числитель и знаменатель на множители: x2−12x2−x−1=(x−1)(x+1)(x−1)(2x+1)=x+12x+1.\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}
=
\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(2x+1)}
=
\frac{x+1}{2x+1}. Предполагаемый предел равен 11.

Зафиксируем произвольное ε>0\varepsilon>0.

При ∣x∣<14|x|<\dfrac14 имеем ∣2x+1∣>12|2x+1|>\dfrac12, поэтому ∣x+12x+1−1∣=∣x∣∣2x+1∣<2∣x∣.\left|\frac{x+1}{2x+1}-1\right| = \frac{|x|}{|2x+1|} <2|x|. Выберем δ=min⁡{14,ε2}.\delta=\min\left\{\frac14,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. Тогда 0<∣x∣<δ⟹∣x2−12x2−x−1−1∣<ε.0<|x|<\delta
\quad\Longrightarrow\quad
\left|\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}-1\right|<\varepsilon. Итак, ∀ε>0∃δ>0∀x:0<∣x∣<δ⟹∣x2−12x2−x−1−1∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
0<|x|<\delta
\Longrightarrow
\left|\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}-1\right|<\varepsilon. По определению предела lim⁡x→0x2−12x2−x−1=1.\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=1.

Пункт б)

При x≠1x\neq1 x2−12x2−x−1=x+12x+1.\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\frac{x+1}{2x+1}. Предполагаемый предел равен 23\dfrac23.

Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. Если ∣x−1∣<12|x-1|<\dfrac12, то x>12x>\dfrac12 и ∣2x+1∣>2|2x+1|>2. Поэтому ∣x+12x+1−23∣=∣x−1∣3∣2x+1∣<∣x−1∣6.\left|\frac{x+1}{2x+1}-\frac23\right|
=
\frac{|x-1|}{3|2x+1|}
<
\frac{|x-1|}{6}. Выберем δ=min⁡{12,6ε}.\delta=\min\left\{\frac12,6\varepsilon\right\}. Тогда 0<∣x−1∣<δ⟹∣x2−12x2−x−1−23∣<ε.0<|x-1|<\delta
\quad\Longrightarrow\quad
\left|\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}-\frac23\right|<\varepsilon.lim⁡x→1x2−12x2−x−1=23.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\frac23.

Пункт в)

При достаточно больших ∣x∣|x| имеем x2−12x2−x−1=x+12x+1.\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\frac{x+1}{2x+1}. Зафиксируем ε>0\varepsilon>0.lim⁡x→∞x2−12x2−x−1=12.\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\frac12.

Проверка

При ∣x∣>1|x|>1 имеем ∣2x+1∣>∣x∣|2x+1|>|x|, поэтому ∣x+12x+1−12∣=12∣2x+1∣<12∣x∣.\left|\frac{x+1}{2x+1}-\frac12\right|
=
\frac{1}{2|2x+1|}
<
\frac{1}{2|x|}. Выберем A=max⁡{1,12ε}.A=\max\left\{1,\frac{1}{2\varepsilon}\right\}. Тогда ∣x∣>A⟹∣x2−12x2−x−1−12∣<ε.|x|>A
\quad\Longrightarrow\quad
\left|\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}-\frac12\right|<\varepsilon. Итак, ∀ε>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹∣x2−12x2−x−1−12∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
|x|>A
\Longrightarrow
\left|\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}-\frac12\right|<\varepsilon.