Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 426

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 426

lim⁡x→a(xn−an)−nan−1(x−a)(x−a)2(n — натуральное число).\lim_{x\to a}\frac{(x^n-a^n)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Решение

Идея

Используем формулу разности степеней: xn−an=(x−a)(xn−1+axn−2+…+an−2x+an−1).x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+\ldots+a^{n-2}x+a^{n-1}). Тогда при x≠ax\neq a (xn−an)−nan−1(x−a)(x−a)2=xn−1+axn−2+…+an−2x−(n−1)an−1x−a.\frac{(x^n-a^n)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}
=
\frac{x^{n-1}+ax^{n-2}+\ldots+a^{n-2}x-(n-1)a^{n-1}}{x-a}.
  1. 1
    Представим числитель в виде (xn−1−an−1)+a(xn−2−an−2)+…+an−3(x2−a2)+an−2(x−a).(x^{n-1}-a^{n-1})
    +a(x^{n-2}-a^{n-2})
    +\ldots
    +a^{n-3}(x^2-a^2)
    +a^{n-2}(x-a).     Тогда (xn−an)−nan−1(x−a)(x−a)2=xn−1−an−1x−a+axn−2−an−2x−a+…+an−3x2−a2x−a+an−2.\frac{(x^n-a^n)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}
    =
    \frac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}
    +a\frac{x^{n-2}-a^{n-2}}{x-a}
    +\ldots
    +a^{n-3}\frac{x^2-a^2}{x-a}
    +a^{n-2}.
  2. 2
    Теперь в каждой дроби воспользуемся формулой разности степеней xk−ak=(x−a)(xk−1+axk−2+…+ak−1).x^k-a^k=(x-a)(x^{k-1}+ax^{k-2}+\ldots+a^{k-1}). После сокращения множителя x−ax-a получаем xn−1−an−1x−a=xn−2+axn−3+…+an−2,\frac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a} = x^{n-2}+ax^{n-3}+\ldots+a^{n-2}, axn−2−an−2x−a=a(xn−3+axn−4+…+an−3),a\frac{x^{n-2}-a^{n-2}}{x-a}
    =
    a\left(x^{n-3}+ax^{n-4}+\ldots+a^{n-3}\right),     и далее аналогично, вплоть до an−3x2−a2x−a=an−3(x+a),an−2x−ax−a=an−2.a^{n-3}\frac{x^2-a^2}{x-a}=a^{n-3}(x+a),
    \quad
    a^{n-2}\frac{x-a}{x-a}=a^{n-2}.

Проверка

При x→ax\to a получаем xn−1−an−1x−a→(n−1)an−2,\frac{x^{n-1}-a^{n-1}}{x-a}\to(n-1)a^{n-2}, axn−2−an−2x−a→(n−2)an−2,a\frac{x^{n-2}-a^{n-2}}{x-a}\to(n-2)a^{n-2}, и аналогично для остальных слагаемых. Поэтому lim⁡x→a(xn−an)−nan−1(x−a)(x−a)2=((n−1)+(n−2)+…+2+1)an−2.\lim_{x\to a}
\frac{(x^n-a^n)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}
=
\bigl((n-1)+(n-2)+\ldots+2+1\bigr)a^{n-2}. Так как 1+2+…+(n−1)=n(n−1)2,1+2+\ldots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2, откуда lim⁡x→a(xn−an)−nan−1(x−a)(x−a)2=n(n−1)2an−2.\boxed{
\lim_{x\to a}
\frac{(x^n-a^n)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}
=
\frac{n(n-1)}2a^{n-2}
}.
Демидович № 426 — решение