Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 426

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 426

lim⁡x→a(xn−an)−nan−1(x−a)(x−a)2(n — натуральное число).\lim_{x\to a}\frac{(x^n-a^n)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Решение

Положим h=x−ah=x-a. Тогда x=a+hx=a+h, а условие x→ax\to a означает h→0h\to0.
Если n=1n=1, числитель равен (x−a)−(x−a)=0(x-a)-(x-a)=0. При x≠ax\ne a вся дробь равна нулю, поэтому предел равен 00 при любом aa.

Пусть теперь n⩾2n\geqslant2. По биному Ньютона(a+h)n=an+nan−1h+(n2)an−2h2+∑k=3n(nk)an−khk.(a+h)^n=a^n+na^{n-1}h+\binom n2 a^{n-2}h^2+\sum_{k=3}^n\binom nk a^{n-k}h^k.Первые два члена сокращаются с вычитаемыми в числителе. Делим остальные члены на h2h^2:(a+h)n−an−nan−1hh2=(n2)an−2+∑k=3n(nk)an−khk−2.\frac{(a+h)^n-a^n-na^{n-1}h}{h^2}
=\binom n2 a^{n-2}+\sum_{k=3}^n\binom nk a^{n-k}h^{k-2}.В сумме справа конечное число членов, и каждый содержит положительную степень hh, поэтому сумма стремится к нулю. При n=2n=2 эта сумма пуста и равна нулю сразу. Так как (n2)=n(n−1)/2\binom n2=n(n-1)/2, получаем{0,n=1,n(n−1)2an−2,n⩾2.\begin{cases}
0,&n=1,\\
\dfrac{n(n-1)}2a^{n-2},&n\geqslant2.
\end{cases}При n=2n=2 последний ответ равен 11 и при a=0a=0: множитель a0a^0 здесь является постоянным членом многочлена, равным единице.