Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 402

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 402

На языке «EE — δ\delta» доказать, чтоlim⁡x→11(1−x)2=+∞.\lim_{x\to1}\frac1{(1-x)^2}=+\infty.Заполнить следующую таблицу:E10100100010 000…δ\begin{array}{c|ccccc}
E&10&100&1000&10\,000&\ldots\\ \hline
\delta&&&&&
\end{array}

Доказательство

Докажем по определению, чтоlim⁡x→11(1−x)2=+∞.\lim_{x\to1}\frac1{(1-x)^2}=+\infty.
Зафиксируем произвольное число E>0E>0. Нужно выбрать такое δ>0\delta>0, чтобы из условия 0<∣x−1∣<δ0<|x-1|<\delta следовало 1(1−x)2>E\frac1{(1-x)^2}>E.

Неравенство 1(1−x)2>E\frac1{(1-x)^2}>E равносильно ∣x−1∣<1E|x-1|<\frac1{\sqrt E}. Выберем δ=1E\delta=\frac1{\sqrt E}. Тогда при 0<∣x−1∣<δ0<|x-1|<\delta имеем (x−1)2<δ2=1E(x-1)^2<\delta^2=\frac1E, откуда1(1−x)2=1(x−1)2>E.\frac1{(1-x)^2}=\frac1{(x-1)^2}>E.
Итак, выполнено условие∀E>0∃δ=1E>0∀x:0<∣x−1∣<δ⟹1(1−x)2>E.\forall E>0\quad
\exists\delta=\frac1{\sqrt E}>0\quad
\forall x:\quad
0<|x-1|<\delta
\Longrightarrow
\frac1{(1-x)^2}>E.Это означает, что какое бы большое положительное число EE мы ни задали, можно выбрать достаточно малую проколотую окрестность точки 11, в которой все значения функции будут больше EE. Следовательно,lim⁡x→11(1−x)2=+∞.\lim_{x\to1}\frac1{(1-x)^2}=+\infty.

Проверка

Для указанных значений EE получаем:E10100100010 000…δ110110110101100…\begin{array}{c|ccccc}
E&10&100&1000&10\,000&\ldots\\ \hline
\delta&\dfrac1{\sqrt{10}}&\dfrac1{10}&\dfrac1{10\sqrt{10}}&\dfrac1{100}&\ldots
\end{array}

Что и требовалось доказать