Демидович — задача 402

1. 1
   Зафиксируем произвольное число $E>0$. Нужно выбрать такое $\delta>0$, чтобы из условия $0<|x-1|<\delta$ следовало $\frac1{(1-x)^2}>E$.
   
   Неравенство $\frac1{(1-x)^2}>E$ равносильно $|x-1|<\frac1{\sqrt E}$. Выберем $\delta=\frac1{\sqrt E}$. Тогда при $0<|x-1|<\delta$ имеем $(x-1)^2<\delta^2=\frac1E$, откуда$$\frac1{(1-x)^2}=\frac1{(x-1)^2}>E.$$
2. 2
   Итак, выполнено условие$$\forall E>0\quad$$
   \exists\delta=\frac1{\sqrt E}>0\quad
   \forall x:\quad
   0<|x-1|<\delta
   \Longrightarrow
   \frac1{(1-x)^2}>E.Это означает, что какое бы большое положительное число $E$ мы ни задали, можно выбрать достаточно малую проколотую окрестность точки $1$, в которой все значения функции будут больше $E$. Следовательно,$$\boxed{\lim_{x\to1}\frac1{(1-x)^2}=+\infty}.$$

Что и требовалось доказать