Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 390

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

f(x)=\frac{2x}{1+x^2}\quad\text{на }(0,+\infty).

Решение

Идея

Рассмотрим функцию

f(x)=\frac{2x}{1+x^2},\quad x>0.

Так как

x>0

, имеем

f(x)>0

Из неравенства

(x-1)^2\geq0

следует

1+x^2\geq2x,

поэтому

\frac{2x}{1+x^2}\leq1.

Равенство достигается при

x=1

, следовательно,

M[f]=1

.

Кроме того,

\frac{2x}{1+x^2}\to0\quad\text{при }x\to0+,

поэтому значения функции могут быть сколь угодно близки к нулю.

Проверка

\boxed{m[f]=0,\quad M[f]=1}.

Нижняя грань не достигается, а верхняя достигается при

x=1