Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 390

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить нижнюю и верхнюю грани функции на указанном промежутке.

Задача 390

f(x)=2x1+x2на (0,+∞).f(x)=\frac{2x}{1+x^2}\quad\text{на }(0,+\infty).

Решение

Рассмотрим функцию f(x)=2x1+x2,x>0.f(x)=\frac{2x}{1+x^2},\quad x>0. Так как x>0x>0, имеем f(x)>0f(x)>0.
Из неравенства (x−1)2≥0(x-1)^2\geq0 следует 1+x2≥2x,1+x^2\geq2x, поэтому 2x1+x2≤1.\frac{2x}{1+x^2}\leq1. Равенство достигается при x=1x=1, следовательно, M[f]=1M[f]=1.

Кроме того, 2x1+x2→0при x→0+,\frac{2x}{1+x^2}\to0\quad\text{при }x\to0+, поэтому значения функции могут быть сколь угодно близки к нулю.
m[f]=0,M[f]=1.m[f]=0,\quad M[f]=1. Нижняя грань не достигается, а верхняя достигается при x=1x=1.