Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 401

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 401

С помощью «ε\varepsilon — δ\delta»-рассуждений доказать, чтоlim⁡x→2x2=4.\lim_{x\to2}x^2=4.Заполнить следующую таблицу:ε0,10,010,0010,0001…δ\begin{array}{c|ccccc}
\varepsilon&0{,}1&0{,}01&0{,}001&0{,}0001&\ldots\\ \hline
\delta&&&&&
\end{array}

Доказательство

Проверим определение предела. Пусть ε>0\varepsilon>0.
Из ∣x−2∣<1|x-2|<1 следует 1<x<31<x<3, так что ∣x+2∣<5|x+2|<5. Поэтому∣x2−4∣=∣x−2∣ ∣x+2∣<5∣x−2∣.|x^2-4|=|x-2|\,|x+2|<5|x-2|.Возьмём δ=min⁡{1,ε/5}\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}. Для любого xx, удовлетворяющего
0<∣x−2∣<δ0<|x-2|<\delta, получаем ∣x2−4∣<5δ⩽ε|x^2-4|<5\delta\leqslant\varepsilon.
Итак, lim⁡x→2x2=4\lim_{x\to2}x^2=4 непосредственно по определению.
Для указанных в условии значений ε\varepsilon все числа меньше 55;
можно положить δ=ε/5\delta=\varepsilon/5. Заполненная таблица имеет видε0,10,010,0010,0001…δ0,020,0020,00020,00002…\begin{array}{c|ccccc}
\varepsilon&0{,}1&0{,}01&0{,}001&0{,}0001&\ldots\\ \hline
\delta&0{,}02&0{,}002&0{,}0002&0{,}00002&\ldots
\end{array}

Что и требовалось доказать