Демидович — задача 401

1. 1
   Докажем по определению, что $\lim_{x\to2}x^2=4.$
   
   Зафиксируем произвольное $\varepsilon>0$. Нужно выбрать такое $\delta>0$, чтобы из условия $0<|x-2|<\delta$ следовало $|x^2-4|<\varepsilon.$
   
   Имеем $|x^2-4|=|x-2||x+2|.$ Потребуем дополнительно, чтобы $|x-2|<1$.
   
   Тогда $1<x<3$, следовательно, $|x+2|<5$, поэтому $|x^2-4|<5|x-2|.$
   
   Выберем $\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{5}\right\}.$ Тогда при $0<|x-2|<\delta$ имеем $|x^2-4|<5|x-2|<5\delta\leq\varepsilon.$
2. 2
   Итак, выполнено условие $$\forall\varepsilon>0\quad$$
   \exists\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{5}\right\}>0\quad
   \forall x:\quad
   0<|x-2|<\delta
   \Longrightarrow
   |x^2-4|<\varepsilon.Это означает, что какова бы ни была заданная точность $\varepsilon>0$, можно выбрать такую окрестность точки $2$ радиуса $\delta$, что для всех $x$ из этой проколотой окрестности значение $x^2$ отличается от $4$ меньше чем на $\varepsilon$. Следовательно, $$\boxed{\lim_{x\to2}x^2=4}.$$

Что и требовалось доказать