Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 404

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 404

а) lim⁡x→∞f(x)=b;б) lim⁡x→−∞f(x)=b;в) lim⁡x→+∞f(x)=b.\text{а) }\lim_{x\to\infty}f(x)=b;\quad
\text{б) }\lim_{x\to-\infty}f(x)=b;\quad
\text{в) }\lim_{x\to+\infty}f(x)=b.

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Равенство lim⁡x→∞f(x)=b\lim_{x\to\infty}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    |x|>A
    \Longrightarrow
    |f(x)-b|<\varepsilon.
  2. 2
    Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такое число A>0A>0, что при всех достаточно больших по модулю xx значение f(x)f(x) отличается от bb меньше чем на ε\varepsilon.

    Например, lim⁡x→∞1x=0.\lim_{x\to\infty}\frac1x=0.
  3. 3

    Пункт б)

    Равенство lim⁡x→−∞f(x)=b\lim_{x\to-\infty}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃A>0∀x:x<−A⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    x<-A
    \Longrightarrow
    |f(x)-b|<\varepsilon.
  4. 4
    Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такое число A>0A>0, что при всех достаточно больших по модулю отрицательных xx значение f(x)f(x) отличается от bb меньше чем на ε\varepsilon.

    Например, lim⁡x→−∞1x=0.\lim_{x\to-\infty}\frac1x=0.
  5. 5

    Пункт в)

    Равенство lim⁡x→+∞f(x)=b\lim_{x\to+\infty}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃A>0∀x:x>A⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
    \exists A>0\quad
    \forall x:\quad
    x>A
    \Longrightarrow
    |f(x)-b|<\varepsilon.
  6. 6
    Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такое число A>0A>0, что при всех достаточно больших положительных xx значение f(x)f(x) отличается от bb меньше чем на ε\varepsilon.

Проверка

Например, lim⁡x→+∞1x=0.\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0.
Демидович № 404 — решение