Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 404

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры.

Задача 404

а) lim⁡x→∞f(x)=b;б) lim⁡x→−∞f(x)=b;в) lim⁡x→+∞f(x)=b.\text{а) }\lim_{x\to\infty}f(x)=b;\quad
\text{б) }\lim_{x\to-\infty}f(x)=b;\quad
\text{в) }\lim_{x\to+\infty}f(x)=b.

Решение

Все кванторы по xx ниже относятся к области определения функции. Предполагается, что из этой области можно приближаться к указанной точке с нужной стороны или уходить в указанную бесконечность.

Пункт а)

Равенство lim⁡x→∞f(x)=b\lim_{x\to\infty}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
|x|>A
\Longrightarrow
|f(x)-b|<\varepsilon.
Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такое число A>0A>0, что при всех достаточно больших по модулю xx значение f(x)f(x) отличается от bb меньше чем на ε\varepsilon.

Например, lim⁡x→∞1x=0.\lim_{x\to\infty}\frac1x=0.

Пункт б)

Равенство lim⁡x→−∞f(x)=b\lim_{x\to-\infty}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃A>0∀x:x<−A⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x<-A
\Longrightarrow
|f(x)-b|<\varepsilon.
Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такое число A>0A>0, что при всех достаточно больших по модулю отрицательных xx значение f(x)f(x) отличается от bb меньше чем на ε\varepsilon.

Например, lim⁡x→−∞1x=0.\lim_{x\to-\infty}\frac1x=0.

Пункт в)

Равенство lim⁡x→+∞f(x)=b\lim_{x\to+\infty}f(x)=b по определению означает ∀ε>0∃A>0∀x:x>A⟹∣f(x)−b∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x>A
\Longrightarrow
|f(x)-b|<\varepsilon.
Для любой заданной точности ε>0\varepsilon>0 существует такое число A>0A>0, что при всех достаточно больших положительных xx значение f(x)f(x) отличается от bb меньше чем на ε\varepsilon.

Проверка

Например, lim⁡x→+∞1x=0.\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0.