Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 412

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 412

lim⁡x→0(1+x)(1+2x)(1+3x)−1x.\lim_{x\to0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}.

Решение

Идея

Раскроем скобки: (1+x)(1+2x)(1+3x)=1+6x+11x2+6x3.(1+x)(1+2x)(1+3x)=1+6x+11x^2+6x^3.
  1. 1
    При x≠0x\neq0 (1+x)(1+2x)(1+3x)−1x=6+11x+6x2.\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}=6+11x+6x^2. Предполагаемый предел равен 66.

    Зафиксируем произвольное ε>0\varepsilon>0.
  2. 2
    Если ∣x∣<1|x|<1, то ∣11x+6x2∣≤11∣x∣+6∣x∣2<17∣x∣.|11x+6x^2|\leq11|x|+6|x|^2<17|x|.Выберем δ=min⁡{1,ε17}.\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{17}\right\}. Тогда 0<∣x∣<δ⟹∣(1+x)(1+2x)(1+3x)−1x−6∣<ε.0<|x|<\delta
    \quad\Longrightarrow\quad
    \left|\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}-6\right|<\varepsilon.    lim⁡x→0(1+x)(1+2x)(1+3x)−1x=6.\boxed{\lim_{x\to0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}=6}.

Проверка

Итак, ∀ε>0∃δ>0∀x:0<∣x∣<δ⟹∣(1+x)(1+2x)(1+3x)−1x−6∣<ε.\forall\varepsilon>0\quad
\exists\delta>0\quad
\forall x:\quad
0<|x|<\delta
\Longrightarrow
\left|\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}-6\right|<\varepsilon.
Демидович № 412 — решение