Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 412

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

\lim_{x\to0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}.

Решение

Сначала перемножим первые две скобки:

(1+x)(1+2x)=1+3x+2x^2.

Теперь умножаем на третью:

\displaystyle (1+3x+2x^2)(1+3x)\mathrel{=}

При

x\neq0

\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}=6+11x+6x^2.

Предполагаемый предел равен

6

.

Зафиксируем произвольное

\varepsilon>0

Если

|x|<1

, то

|11x+6x^2|\leq11|x|+6|x|^2<17|x|.

Выберем

\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{17}\right\}.

Тогда

0<|x|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\left|\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}-6\right|<\varepsilon.

\lim_{x\to0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}=6.

Проверка

Итак,

\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall x:\quad0<|x|<\delta\Longrightarrow\left|\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}-6\right|<\varepsilon.