Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 409

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 409

ПустьR(x)=a0xn+a1xn−1+…+anb0xm+b1xm−1+…+bm,R(x)=\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m},где a0≠0a_0\ne0 и b0≠0b_0\ne0.

Доказать, чтоlim⁡x→∞R(x)={∞,n>m,a0b0,n=m,0,n<m.\lim_{x\to\infty}R(x)=
\begin{cases}
\infty,& n>m,\\[1mm]
\dfrac{a_0}{b_0},& n=m,\\[2mm]
0,& n<m.
\end{cases}

Доказательство

Вынесем из числителя xnx^n, а из знаменателя xmx^m: R(x)=xn−m a0+a1x+⋯+anxnb0+b1x+⋯+bmxm.R(x)=x^{n-m}\,
\frac{a_0+\dfrac{a_1}{x}+\cdots+\dfrac{a_n}{x^n}}
{b_0+\dfrac{b_1}{x}+\cdots+\dfrac{b_m}{x^m}}. При x→∞x\to\infty имеем a0+a1x+⋯+anxn→a0,b0+b1x+⋯+bmxm→b0.a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}\to a_0,
\quad
b_0+\frac{b_1}{x}+\cdots+\frac{b_m}{x^m}\to b_0. Так как a0≠0a_0\neq0 и b0≠0b_0\neq0, то a0+a1x+⋯+anxnb0+b1x+⋯+bmxm→a0b0≠0.\frac{a_0+\dfrac{a_1}{x}+\cdots+\dfrac{a_n}{x^n}}
{b_0+\dfrac{b_1}{x}+\cdots+\dfrac{b_m}{x^m}}
\to\frac{a_0}{b_0}\neq0.
Если n>mn>m, то степень xn−mx^{n-m} по абсолютной величине неограниченно возрастает, поэтому lim⁡x→∞R(x)=∞.\lim_{x\to\infty}R(x)=\infty.
Если n=mn=m, то xn−m=1x^{n-m}=1, следовательно, lim⁡x→∞R(x)=a0b0.\lim_{x\to\infty}R(x)=\frac{a_0}{b_0}.
Если n<mn<m, то xn−m=1xm−n→0,x^{n-m}=\frac{1}{x^{m-n}}\to0, поэтому lim⁡x→∞R(x)=0.\lim_{x\to\infty}R(x)=0.

Проверка

lim⁡x→∞R(x)={∞,n>m,a0b0,n=m,0,n<m.\lim_{x\to\infty}R(x)=
\begin{cases}
\infty,& n>m,\\[1mm]
\dfrac{a_0}{b_0},& n=m,\\[2mm]
0,& n<m.
\end{cases}

Что и требовалось доказать