Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 396

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить нижнюю и верхнюю грани функции на указанном промежутке.

Задача 396

f(x)=x−[x]на [0,1].f(x)=x-[x]\quad\text{на }[0,1].

Решение

Рассмотрим функцию f(x)=x−[x],x∈[0,1].f(x)=x-[x],\quad x\in[0,1]. При 0≤x<10\leq x<1 имеем [x]=0[x]=0, поэтому f(x)=x.f(x)=x. При x=1x=1 получаем f(1)=1−[1]=0.f(1)=1-[1]=0.
Итак, функция принимает все значения из промежутка [0,1)[0,1), но значение 11 не достигается. Следовательно, m[f]=0,M[f]=1.m[f]=0,\quad M[f]=1. Нижняя грань достигается, а верхняя не достигается.