Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 408

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n,

где

a_i

(

i=0,1,\ldots,n

;

n\ge1

a_0\ne0

) — вещественные числа.

Доказать, что

\lim_{x\to\infty}|P(x)|=+\infty.

Доказательство

Вынесем старшую степень

x

P(x)=x^n\left(a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}\right).

При

|x|\to\infty

выражение

\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}

стремится к нулю. Можно явно выбрать

B=|a_1|+\cdots+|a_n|,\qquad A_1=\max\left\{1,\frac{2B}{|a_0|}\right\}.

Действительно, при

|x|>1

сумма модулей дробей не превосходит

B/|x|

, а при

|x|>2B/|a_0|

она меньше

|a_0|/2

(если

B=0

, сумма сразу равна нулю). Итак, при

|x|>A_1

\left|\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}\right|<\frac{|a_0|}{2}.

По неравенству треугольника получаем

\left|a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}\right|>\frac{|a_0|}{2}.

При

|x|>A_1

|P(x)|>\frac{|a_0|}{2}|x|^n.

Теперь пусть

E>0

. Выберем

A_2=\left(\frac{2E}{|a_0|}\right)^{1/n}

и положим

A=\max\{A_1,A_2\}

. Тогда из

|x|>A

следует

|P(x)|>\frac{|a_0|}{2}|x|^n>E.

Проверка

\lim_{x\to\infty}|P(x)|=+\infty.

Что и требовалось доказать