Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 416

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}.

Решение

Идея

Числитель и знаменатель являются многочленами одной и той же степени

50

. Поэтому при

x\to\infty

предел их отношения определяется только коэффициентами при старших степенях.

1
В числителе старший член равен $(2x)^{20}(3x)^{30}=2^{20}3^{30}x^{50},$ а в знаменателе $(2x)^{50}=2^{50}x^{50}.$
2
Для отношения многочленов одинаковой степени при $x\to\infty$ предел равен отношению коэффициентов при их старших степенях. $\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}=\frac{2^{20}3^{30}}{2^{50}}=\left(\frac32\right)^{30}.$

Проверка

\boxed{\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}=\left(\frac32\right)^{30}}.