Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 416

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}.

Решение

Числитель и знаменатель являются многочленами одной и той же степени

50

. Поэтому при

x\to\infty

предел их отношения определяется только коэффициентами при старших степенях.

В числителе старший член равен

(2x)^{20}(3x)^{30}=2^{20}3^{30}x^{50},

а в знаменателе

(2x)^{50}=2^{50}x^{50}.

Для отношения многочленов одинаковой степени при

x\to\infty

предел равен отношению коэффициентов при их старших степенях.

\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}=\frac{2^{20}3^{30}}{2^{50}}=\left(\frac32\right)^{30}.

Проверка

\lim_{x\to\infty}\frac{(2x-3)^{20}(3x+2)^{30}}{(2x+1)^{50}}=\left(\frac32\right)^{30}.