Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 394

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

f(x)=2^x\quad\text{на }(-1,2).

Решение

Идея

Рассмотрим функцию

f(x)=2^x,\quad -1<x<2.

Функция

2^x

строго возрастает, поэтому для всех

x\in(-1,2)

имеем

2^{-1}<2^x<2^2,

то есть

\frac12<f(x)<4.

При

x\to-1+

значения функции стремятся к

\dfrac12

, а при

x\to2-

– к

4

. Поэтому никакое большее число не может быть нижней гранью и никакое меньшее число не может быть верхней гранью.

Проверка

\boxed{m[f]=\frac12,\quad M[f]=4}.

Обе грани на данном интервале не достигаются.