Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 394

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить нижнюю и верхнюю грани функции на указанном промежутке.

Задача 394

f(x)=2xна (−1,2).f(x)=2^x\quad\text{на }(-1,2).

Решение

Рассмотрим функцию f(x)=2x,−1<x<2.f(x)=2^x,\quad -1<x<2. Функция 2x2^x строго возрастает, поэтому для всех x∈(−1,2)x\in(-1,2) имеем 2−1<2x<22,2^{-1}<2^x<2^2, то есть 12<f(x)<4.\frac12<f(x)<4.
При x→−1+x\to-1+ значения функции стремятся к 12\dfrac12, а при x→2−x\to2- – к 44. Поэтому никакое большее число не может быть нижней гранью и никакое меньшее число не может быть верхней гранью.
m[f]=12,M[f]=4.m[f]=\frac12,\quad M[f]=4. Обе грани на данном интервале не достигаются.