Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 393

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить нижнюю и верхнюю грани функции на указанном промежутке.

Задача 393

f(x)=sin⁡x+cos⁡xна [0,2π].f(x)=\sin x+\cos x\quad\text{на }[0,2\pi].

Решение

По формуле синуса суммы2sin⁡(x+π4)=2(sin⁡x22+cos⁡x22)=sin⁡x+cos⁡x.\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)
=\sqrt2\left(\sin x\frac{\sqrt2}{2}+\cos x\frac{\sqrt2}{2}\right)
=\sin x+\cos x.Множитель 2\sqrt2 выбран так, чтобы оба коэффициента после раскрытия скобок стали равны единице. Из −1⩽sin⁡t⩽1-1\leqslant\sin t\leqslant1 следует−2⩽f(x)⩽2.-\sqrt2\leqslant f(x)\leqslant\sqrt2.Верхняя оценка достигается при x=π4x=\frac{\pi}{4}, поскольку sin⁡(x+π4)=sin⁡(π2)=1\sin(x+\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{2})=1. Нижняя достигается при x=5π4x=5\frac{\pi}{4}, поскольку sin⁡(3π2)=−1\sin(3\frac{\pi}{2})=-1. Обе точки лежат на заданном отрезке.
m[f]=−2,M[f]=2.m[f]=-\sqrt2,\quad M[f]=\sqrt2.