Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 393

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 393

f(x)=sin⁡x+cos⁡xна [0,2π].f(x)=\sin x+\cos x\quad\text{на }[0,2\pi].

Решение

Идея

Преобразуем функцию: f(x)=sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π4).f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). Так как −1≤sin⁡(x+π4)≤1,-1\leq\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\leq1, то −2≤f(x)≤2.-\sqrt2\leq f(x)\leq\sqrt2. На отрезке [0,2π][0,2\pi] оба крайних значения достигаются.
m[f]=−2,M[f]=2.\boxed{m[f]=-\sqrt2,\quad M[f]=\sqrt2}.
Демидович № 393 — решение