Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 398

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 398

Определить колебание функции f(x)=arctg⁡1xf(x)=\operatorname{arctg}\dfrac1x на интервалах:а) (−1;1);б) (−0,1;0,1);в) (−0,01;0,01);г) (−0,001;0,001).\text{а) }(-1;1);\quad
\text{б) }(-0{,}1;0{,}1);\quad
\text{в) }(-0{,}01;0{,}01);\quad
\text{г) }(-0{,}001;0{,}001).

Решение

Рассматриваем функцию f(x)=arctg⁡1xf(x)=\operatorname{arctg}\frac1x в точках ее области определения, то есть при x≠0x\neq0.
На каждом из указанных интервалов имеются как положительные, так и отрицательные значения xx. При x→0+x\to0+ имеем arctg⁡1x→π2,\operatorname{arctg}\frac1x\to\frac{\pi}{2}, а при x→0−x\to0- arctg⁡1x→−π2.\operatorname{arctg}\frac1x\to-\frac{\pi}{2}. При этом для любого x≠0x\neq0 −π2<arctg⁡1x<π2.-\frac{\pi}{2}<\operatorname{arctg}\frac1x<\frac{\pi}{2}. На каждом из указанных интервалов m[f]=−π2,M[f]=π2.m[f]=-\frac{\pi}{2},\quad M[f]=\frac{\pi}{2}. Колебание функции равно ω=M[f]−m[f]=π2−(−π2)=π.\omega=M[f]-m[f]=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi.а) ω=π;б) ω=π;в) ω=π;г) ω=π.\text{а) }\omega=\pi;\quad
\text{б) }\omega=\pi;\quad
\text{в) }\omega=\pi;\quad
\text{г) }\omega=\pi.