Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 398

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить колебание функции

f(x)=\operatorname{arctg}\dfrac1x

на интервалах:

\text{а) }(-1;1);\quad\text{б) }(-0{,}1;0{,}1);\quad\text{в) }(-0{,}01;0{,}01);\quad\text{г) }(-0{,}001;0{,}001).

Решение

Идея

Рассматриваем функцию

f(x)=\operatorname{arctg}\frac1x

в точках ее области определения, то есть при

x\neq0

На каждом из указанных интервалов имеются как положительные, так и отрицательные значения

x

. При

x\to0+

имеем

\operatorname{arctg}\frac1x\to\frac{\pi}{2},

а при

x\to0-

\operatorname{arctg}\frac1x\to-\frac{\pi}{2}.

При этом для любого

x\neq0

-\frac{\pi}{2}<\operatorname{arctg}\frac1x<\frac{\pi}{2}.

На каждом из указанных интервалов

m[f]=-\frac{\pi}{2},\quad M[f]=\frac{\pi}{2}.

Колебание функции равно

\omega=M[f]-m[f]=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi.

Проверка

\boxed{\text{а) }\omega=\pi;\quad\text{б) }\omega=\pi;\quad\text{в) }\omega=\pi;\quad\text{г) }\omega=\pi.}