Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 385

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 385

Исследовать на ограниченность функциюf(x)=ln⁡x⋅sin⁡2πxf(x)=\ln x\cdot\sin^2\frac{\pi}{x}в интервале 0<x<ε0<x<\varepsilon.

Решение

Идея

Рассмотрим функцию f(x)=ln⁡x⋅sin⁡2πx,0<x<ε.f(x)=\ln x\cdot\sin^2\frac{\pi}{x},\quad 0<x<\varepsilon.
Покажем, что функция не ограничена снизу. Возьмем последовательность xn=22n+1.x_n=\frac{2}{2n+1}.

Тогда xn→0x_n\to0, поэтому при достаточно больших nn имеем xn<εx_n<\varepsilon. Кроме того, sin⁡2πxn=sin⁡2(2n+1)π2=1.\sin^2\frac{\pi}{x_n} = \sin^2\frac{(2n+1)\pi}{2} =1.

Отсюда f(xn)=ln⁡22n+1→−∞.f(x_n)=\ln\frac{2}{2n+1}\to-\infty. Функция не ограничена снизу на интервале (0,ε)(0,\varepsilon).

Проверка

Функция не ограничена на интервале (0,ε)(0,\varepsilon).
Демидович № 385 — решение | Высшая математика — Профиматика