Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 385

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 385

Исследовать на ограниченность функциюf(x)=ln⁡x⋅sin⁡2πxf(x)=\ln x\cdot\sin^2\frac{\pi}{x}в интервале 0<x<ε0<x<\varepsilon.

Решение

Рассмотрим функцию f(x)=ln⁡x⋅sin⁡2πx,0<x<ε.f(x)=\ln x\cdot\sin^2\frac{\pi}{x},\quad 0<x<\varepsilon.
Покажем, что функция не ограничена снизу. Возьмем последовательность xn=22n+1.x_n=\frac{2}{2n+1}.

Тогда xn→0x_n\to0, поэтому при достаточно больших nn имеем xn<εx_n<\varepsilon. Кроме того, sin⁡2πxn=sin⁡2(2n+1)π2=1.\sin^2\frac{\pi}{x_n} = \sin^2\frac{(2n+1)\pi}{2} =1.

Отсюда f(xn)=ln⁡22n+1→−∞.f(x_n)=\ln\frac{2}{2n+1}\to-\infty. Функция не ограничена снизу на интервале (0,ε)(0,\varepsilon).

Сверху функция ограничена. Если 0<x⩽10<x\leqslant1, то ln⁡x⩽0\ln x\leqslant0, поэтому f(x)⩽0f(x)\leqslant0. Если 1<x<ε1<x<\varepsilon (этот случай возможен лишь при ε>1\varepsilon>1), то0⩽f(x)⩽ln⁡x<ln⁡ε.0\leqslant f(x)\leqslant\ln x<\ln\varepsilon.Таким образом, на всём интервале f(x)⩽max⁡{0,ln⁡ε}f(x)\leqslant\max\{0,\ln\varepsilon\}, но нижней конечной границы нет. Следовательно, функция ограничена сверху и не ограничена снизу.