Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 413

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 413

lim⁡x→0(1+x)5−(1+5x)x2+x5.\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^2+x^5}.

Решение

Используем бином Ньютона. Коэффициенты при x2x^2 и x3x^3 равны(52)=5⋅42=10,(53)=5⋅4⋅33⋅2⋅1=10,\binom52=\frac{5\cdot4}{2}=10,\qquad
\binom53=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10,а коэффициенты при xx и x4x^4 равны 55. Поэтому(1+x)5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5.(1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5.
Зафиксируем произвольное ε>0\varepsilon>0. Имеем ∣10+10x+5x2+x31+x3−10∣=∣10x+5x2−9x3∣∣1+x3∣.\left|\frac{10+10x+5x^2+x^3}{1+x^3}-10\right|
=
\frac{|10x+5x^2-9x^3|}{|1+x^3|}. Если ∣x∣<12|x|<\dfrac12, то ∣1+x3∣>78|1+x^3|>\dfrac78, а для числителя∣10x+5x2−9x3∣≤∣x∣(10+5∣x∣+9∣x∣2)<(10+52+94)∣x∣=594∣x∣.\begin{aligned}
|10x+5x^2-9x^3|
&\leq |x|\left(10+5|x|+9|x|^2\right)\\
&<\left(10+\frac52+\frac94\right)|x|
=\frac{59}{4}|x|.
\end{aligned}Деление оценки числителя на 7/87/8 даёт множитель594⋅87=1187=16+67<17.\frac{59}{4}\cdot\frac87=\frac{118}{7}=16+\frac67<17.Берём немного большую целую константу 1717, чтобы проще выбрать δ\delta. Отсюда ∣10+10x+5x2+x31+x3−10∣<17∣x∣.\left|\frac{10+10x+5x^2+x^3}{1+x^3}-10\right|<17|x|. Выберем δ=min⁡{12,ε17}.\delta=\min\left\{\frac12,\frac{\varepsilon}{17}\right\}.

Тогда из 0<∣x∣<δ0<|x|<\delta следует, что модуль разности функции и числа 1010 меньше ε\varepsilon.

Проверка

lim⁡x→0(1+x)5−(1+5x)x2+x5=10.\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^2+x^5}=10.
Демидович № 413 — решение | Высшая математика — Профиматика