Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 413

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 413

lim⁡x→0(1+x)5−(1+5x)x2+x5.\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^2+x^5}.

Решение

Идея

По формуле бинома Ньютона (1+x)5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5.(1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5.
При x≠0x\neq0 (1+x)5−(1+5x)x2+x5=10+10x+5x2+x31+x3.\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^2+x^5} = \frac{10+10x+5x^2+x^3}{1+x^3}. Предполагаемый предел равен 1010.

Зафиксируем произвольное ε>0\varepsilon>0. Имеем ∣10+10x+5x2+x31+x3−10∣=∣10x+5x2−9x3∣∣1+x3∣.\left|\frac{10+10x+5x^2+x^3}{1+x^3}-10\right|
=
\frac{|10x+5x^2-9x^3|}{|1+x^3|}. Если ∣x∣<12|x|<\dfrac12, то ∣1+x3∣>78|1+x^3|>\dfrac78, а ∣10x+5x2−9x3∣≤∣x∣(10+5∣x∣+9∣x∣2)<594∣x∣.|10x+5x^2-9x^3| \leq |x|\left(10+5|x|+9|x|^2\right) <\frac{59}{4}|x|.

Отсюда ∣10+10x+5x2+x31+x3−10∣<17∣x∣.\left|\frac{10+10x+5x^2+x^3}{1+x^3}-10\right|<17|x|. Выберем δ=min⁡{12,ε17}.\delta=\min\left\{\frac12,\frac{\varepsilon}{17}\right\}.

Тогда из 0<∣x∣<δ0<|x|<\delta следует, что модуль разности функции и числа 1010 меньше ε\varepsilon.

Проверка

lim⁡x→0(1+x)5−(1+5x)x2+x5=10.\boxed{\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^2+x^5}=10}.
Демидович № 413 — решение