Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 427

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 427

lim⁡x→1xn+1−(n+1)x+n(x−1)2(n — натуральное число).\lim_{x\to1}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Решение

Преобразуем числитель: xn+1−(n+1)x+n=(xn+1−1)−(n+1)(x−1).x^{n+1}-(n+1)x+n = (x^{n+1}-1)-(n+1)(x-1). Используем формулу разности степеней: xn+1−1=(x−1)(xn+xn−1+…+x+1).x^{n+1}-1=(x-1)(x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1). При x≠1x\neq1 xn+1−(n+1)x+n(x−1)2=xn+xn−1+…+x+1−(n+1)x−1.\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}
=
\frac{x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1-(n+1)}{x-1}.
Числитель можно записать в виде (xn−1)+(xn−1−1)+…+(x−1).(x^n-1)+(x^{n-1}-1)+\ldots+(x-1). Отсюда xn+1−(n+1)x+n(x−1)2=xn−1x−1+xn−1−1x−1+…+x−1x−1.\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}
=
\frac{x^n-1}{x-1}
+\frac{x^{n-1}-1}{x-1}
+\ldots+
\frac{x-1}{x-1}.
Так как xk−1x−1=1+x+…+xk−1,\frac{x^k-1}{x-1}=1+x+\ldots+x^{k-1}, то при x→1x\to1 xk−1x−1→k.\frac{x^k-1}{x-1}\to k. Тогда lim⁡x→1xn+1−(n+1)x+n(x−1)2=n+(n−1)+…+1=n(n+1)2.\lim_{x\to1}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}
=
n+(n-1)+\ldots+1
=
\frac{n(n+1)}2.

Проверка

lim⁡x→1xn+1−(n+1)x+n(x−1)2=n(n+1)2.\lim_{x\to1}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}
=
\frac{n(n+1)}2
.