Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 399

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 399

Пусть m[f]m[f] и M[f]M[f] — соответственно нижняя и верхняя грани функции f(x)f(x) на промежутке (a,b)(a,b).

Доказать, что если f1(x)f_1(x) и f2(x)f_2(x) — функции, определенные на (a,b)(a,b), тоm[f1+f2]≥m[f1]+m[f2],M[f1+f2]≤M[f1]+M[f2].m[f_1+f_2]\geq m[f_1]+m[f_2],
\quad
M[f_1+f_2]\leq M[f_1]+M[f_2].Построить примеры функций f1(x)f_1(x) и f2(x)f_2(x), для которых в последних соотношениях имеет место: а) случай равенства и б) случай неравенства.

Доказательство

По определению нижней грани для любого x∈(a,b)x\in(a,b) имеем f1(x)≥m[f1],f2(x)≥m[f2].f_1(x)\geq m[f_1],\quad f_2(x)\geq m[f_2]. После сложения этих неравенств имеем f1(x)+f2(x)≥m[f1]+m[f2].f_1(x)+f_2(x)\geq m[f_1]+m[f_2]. Число m[f1]+m[f2]m[f_1]+m[f_2] является нижней гранью функции f1+f2f_1+f_2. Поэтому ее точная нижняя грань не меньше этого числа: m[f1+f2]≥m[f1]+m[f2].m[f_1+f_2]\geq m[f_1]+m[f_2].Аналогично, для любого x∈(a,b)x\in(a,b) f1(x)≤M[f1],f2(x)≤M[f2].f_1(x)\leq M[f_1],\quad f_2(x)\leq M[f_2].

f1(x)+f2(x)≤M[f1]+M[f2].f_1(x)+f_2(x)\leq M[f_1]+M[f_2]. M[f1]+M[f2]M[f_1]+M[f_2] является верхней гранью функции f1+f2f_1+f_2, поэтому M[f1+f2]≤M[f1]+M[f2].M[f_1+f_2]\leq M[f_1]+M[f_2].

Пункт а)

Случай равенства.

Возьмем на (a,b)(a,b) f1(x)=x−a,f2(x)=x−a.f_1(x)=x-a,\quad f_2(x)=x-a.

Тогда m[f1]=m[f2]=0,M[f1]=M[f2]=b−a.m[f_1]=m[f_2]=0,\quad M[f_1]=M[f_2]=b-a.
Так как f1(x)+f2(x)=2(x−a),f_1(x)+f_2(x)=2(x-a), то m[f1+f2]=0,M[f1+f2]=2(b−a).m[f_1+f_2]=0,\quad M[f_1+f_2]=2(b-a).

Отсюда m[f1+f2]=m[f1]+m[f2],M[f1+f2]=M[f1]+M[f2].m[f_1+f_2]=m[f_1]+m[f_2], \quad M[f_1+f_2]=M[f_1]+M[f_2].

Пункт б)

Случай строгого неравенства.

Возьмем f1(x)=x−a,f2(x)=b−x.f_1(x)=x-a,\quad f_2(x)=b-x.

Тогда m[f1]=m[f2]=0,M[f1]=M[f2]=b−a.m[f_1]=m[f_2]=0,\quad M[f_1]=M[f_2]=b-a.

Но f1(x)+f2(x)=b−af_1(x)+f_2(x)=b-a для всех x∈(a,b)x\in(a,b), поэтому m[f1+f2]=M[f1+f2]=b−a.m[f_1+f_2]=M[f_1+f_2]=b-a.

Отсюда m[f1+f2]=b−a>0=m[f1]+m[f2],m[f_1+f_2]=b-a>0=m[f_1]+m[f_2], и M[f1+f2]=b−a<2(b−a)=M[f1]+M[f2].M[f_1+f_2]=b-a<2(b-a)=M[f_1]+M[f_2].

Итак, в обоих соотношениях возможны как равенство, так и строгое неравенство.

Что и требовалось доказать