Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 391

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 391

f(x)=x+1xна (0,+∞).f(x)=x+\frac1x\quad\text{на }(0,+\infty).

Решение

Идея

Рассмотрим функцию f(x)=x+1x,x>0.f(x)=x+\frac1x,\quad x>0. Из неравенства (x−1)2≥0(x-1)^2\geq0 откуда x2−2x+1≥0.x^2-2x+1\geq0. Деление на x>0x>0 дает x+1x≥2.x+\frac1x\geq2. При x=1x=1 достигается равенство, поэтому m[f]=2.m[f]=2.
m[f]=2,M[f]=+∞.\boxed{m[f]=2,\quad M[f]=+\infty}.

Проверка

С другой стороны, x+1x→+∞при x→+∞,x+\frac1x\to+\infty\quad\text{при }x\to+\infty, следовательно, функция не ограничена сверху.