Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 391

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить нижнюю и верхнюю грани функции на указанном промежутке.

Задача 391

f(x)=x+1xна (0,+∞).f(x)=x+\frac1x\quad\text{на }(0,+\infty).

Решение

Из (x−1)2≥0(x-1)^2\ge0 после деления на положительное xx получаем
x+1x≥2.x+\frac1x\ge2.Равенство достигается при x=1x=1, поэтому нижняя грань равна 22. Сверху функция не ограничена: уже f(x)≥x→+∞f(x)\ge x\to+\infty при x→+∞x\to+\infty. Следовательно, m[f]=2m[f]=2, M[f]=+∞M[f]=+\infty.