Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 421

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 421

lim⁡x→2x3−2x2−4x+8x4−8x2+16.\lim_{x\to2}\frac{x^3-2x^2-4x+8}{x^4-8x^2+16}.

Решение

Идея

Разложим числитель и знаменатель на множители: x3−2x2−4x+8=(x−2)2(x+2),x^3-2x^2-4x+8=(x-2)^2(x+2), x4−8x2+16=(x2−4)2=(x−2)2(x+2)2.x^4-8x^2+16=(x^2-4)^2=(x-2)^2(x+2)^2.
При x≠2x\neq2 x3−2x2−4x+8x4−8x2+16=1x+2.\frac{x^3-2x^2-4x+8}{x^4-8x^2+16} = \frac1{x+2}.

Проверка

lim⁡x→2x3−2x2−4x+8x4−8x2+16=14.\boxed{\lim_{x\to2}\frac{x^3-2x^2-4x+8}{x^4-8x^2+16}
=\frac14}.
Демидович № 421 — решение