Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 430

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 430

lim⁡n→∞1n[(x+an)2+(x+2an)2+…+(x+(n−1)an)2].\lim_{n\to\infty}\frac1n\left[\left(x+\frac an\right)^2+\left(x+\frac{2a}{n}\right)^2+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)^2\right].

Решение

Идея

Обозначим сумму в квадратных скобках через SnS_n: Sn=(x+an)2+(x+2an)2+…+(x+(n−1)an)2.S_n=
\left(x+\frac an\right)^2+
\left(x+\frac{2a}{n}\right)^2+
\ldots+
\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)^2. Раскроем квадраты. В сумме имеется n−1n-1 слагаемых с x2x^2, поэтому Sn=(n−1)x2+2axn(1+2+…+n−1)+a2n2(12+22+…+(n−1)2).S_n
=
(n-1)x^2
+\frac{2ax}{n}(1+2+\ldots+n-1)
+\frac{a^2}{n^2}(1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2). Используем формулы 1+2+…+(n−1)=n(n−1)2,1+2+\ldots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2, 12+22+…+(n−1)2=n(n−1)(2n−1)6.1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}6. Тогда Sn=(n−1)x2+ax(n−1)+a2(n−1)(2n−1)6n.S_n = (n-1)x^2 +ax(n-1) +\frac{a^2(n-1)(2n-1)}{6n}. Отсюда Snn=x2n−1n+axn−1n+a2(n−1)(2n−1)6n2.\frac{S_n}{n}
=
x^2\frac{n-1}{n}
+ax\frac{n-1}{n}
+\frac{a^2(n-1)(2n-1)}{6n^2}.
При n→∞n\to\infty имеем n−1n→1,(n−1)(2n−1)6n2=2−3n+1n26→13.\frac{n-1}{n}\to1,
\quad
\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}
=
\frac{2-\frac3n+\frac1{n^2}}6
\to\frac13.

Проверка

lim⁡n→∞1n[(x+an)2+(x+2an)2+…+(x+(n−1)an)2]=x2+ax+a23.\boxed{
\lim_{n\to\infty}\frac1n\left[
\left(x+\frac an\right)^2+
\left(x+\frac{2a}{n}\right)^2+
\ldots+
\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)^2
\right]
=
x^2+ax+\frac{a^2}{3}
}.
Демидович № 430 — решение