Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 428

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 428

lim⁡x→1(m1−xm−n1−xn)(m и n — натуральные числа).\lim_{x\to1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)\quad(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа}).

Решение

Идея

Используем разложение 1−xm=(1−x)(1+x+…+xm−1),1−xn=(1−x)(1+x+…+xn−1).1-x^m=(1-x)(1+x+\ldots+x^{m-1}),\quad 1-x^n=(1-x)(1+x+\ldots+x^{n-1}). Тогда m1−xm−n1−xn=m(1+x+…+xn−1)−n(1+x+…+xm−1)(1−x)(1+x+…+xm−1)(1+x+…+xn−1).\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}
=
\frac{
m(1+x+\ldots+x^{n-1})
-
n(1+x+\ldots+x^{m-1})
}{
(1-x)(1+x+\ldots+x^{m-1})(1+x+\ldots+x^{n-1})
}.
Преобразуем числитель. Так как постоянные слагаемые сокращаются, имеем m(1+x+…+xn−1)−n(1+x+…+xm−1)=m[(x−1)+(x2−1)+…+(xn−1−1)]−n[(x−1)+(x2−1)+…+(xm−1−1)].\begin{aligned}
&m(1+x+\ldots+x^{n-1})
-
n(1+x+\ldots+x^{m-1})\\
&=
m\bigl[(x-1)+(x^2-1)+\ldots+(x^{n-1}-1)\bigr]\\
&\quad
-
n\bigl[(x-1)+(x^2-1)+\ldots+(x^{m-1}-1)\bigr].
\end{aligned} Используем формулу xk−1=(x−1)(1+x+…+xk−1).x^k-1=(x-1)(1+x+\ldots+x^{k-1}). Вынося общий множитель x−1x-1 и учитывая, что 1−x=−(x−1)1-x=-(x-1), получаемm1−xm−n1−xn=−m[1+(1+x)+…+(1+x+…+xn−2)](1+x+…+xm−1)(1+x+…+xn−1)+n[1+(1+x)+…+(1+x+…+xm−2)](1+x+…+xm−1)(1+x+…+xn−1).\begin{aligned}
\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}
&=
-\frac{
m\bigl[1+(1+x)+\ldots+(1+x+\ldots+x^{n-2})\bigr]
}{
(1+x+\ldots+x^{m-1})(1+x+\ldots+x^{n-1})
}\\
&\quad
+\frac{
n\bigl[1+(1+x)+\ldots+(1+x+\ldots+x^{m-2})\bigr]
}{
(1+x+\ldots+x^{m-1})(1+x+\ldots+x^{n-1})
}.
\end{aligned}Перейдем к пределу при x→1x\to1. Имеем 1+(1+x)+…+(1+x+…+xn−2)→1+2+…+(n−1)=n(n−1)2,1+(1+x)+\ldots+(1+x+\ldots+x^{n-2}) \to 1+2+\ldots+(n-1) = \frac{n(n-1)}2, и аналогично 1+(1+x)+…+(1+x+…+xm−2)→m(m−1)2.1+(1+x)+\ldots+(1+x+\ldots+x^{m-2}) \to \frac{m(m-1)}2. Кроме того, 1+x+…+xm−1→m,1+x+…+xn−1→n.1+x+\ldots+x^{m-1}\to m,\quad 1+x+\ldots+x^{n-1}\to n.

Тогда lim⁡x→1(m1−xm−n1−xn)=\lim_{x\to1}
\left(
\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}
\right)\mathrel{=}−mn(n−1)2−nm(m−1)2mn=-\frac{
m\dfrac{n(n-1)}2
-
n\dfrac{m(m-1)}2
}{mn}\mathrel{=}−mn(n−m)2mn=-\frac{mn(n-m)}{2mn}\mathrel{=}m−n2.\frac{m-n}{2}.

Проверка

lim⁡x→1(m1−xm−n1−xn)=m−n2.\boxed{
\lim_{x\to1}
\left(
\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}
\right)
=
\frac{m-n}{2}
}.
Демидович № 428 — решение | Высшая математика — Профиматика